Aksiyomatik Kümeler Kuramı Alıştırmaları

  1. Bir F ordinal işlemi için, eğer her α için,

    β < F(α) < γ

    koşulunu sağlayan her β ve γ için,

    δ < α < ζ

    koşulunu sağlayan bazi δ ve ζ için, her ξ için

    δ < ξ < ζ ⟹ β < F(ξ) < γ

    ise, o zaman tanima göre F süreklidir. F kesin artan olmak üzere F’nin sürekli olmasinin gerek ve yeter bir koşulunun, her α limiti için

    F(α)=sup F[α]

    denkleminin doğru olmasi olduğunu gösterin.

  2. Örnekler varsa, birini verin; yoksa olmadiğini kanitlayin.

    1. Küme olmayan bir sinif.

    2. Sinif olmayan bir küme.

    3. Kendisini içermeyen bir küme.

    4. Kendisini kapsamayan bir küme.

    5. Ordinal olmayan, tarafindan iyisiralanan bir küme.

    6. Ordinal olmayan, boş olmayan, geçişli bir küme.

    7. Elemanlari ordinal olan, en küçük elemani 1 olan bir küme.

    8. Ordinal olan, en küçük elemani 1 olan bir küme.

    9. Elemanlari ordinal olan, en küçük elemani olmayan bir küme.

    10. Kesin artan, normal olmayan bir ordinaller işlemi.

    11. Sürekli olan, kesin artmayan bir ordinaller işlemi.

    12. Kesin azalan bir ordinaller işlemi.

    13. Sayilamaz bir küme.

    14. Küme olmayan, sayilabilir bir sinif.

  3. Aşağidaki bir ordinaller eşitliği her durumda doğru ise eşitliği kanitlayin; değilse bir karşit örnek verin.

    1. α + 0 = α.

    2. 0 + α = α.

    3. α + (β + γ)=(α + β)+γ.

    4. α + β = β + α.

    5. α ⋅ 1 = α.

    6. 1 ⋅ α = α.

    7. 2 ⋅ α = α + α.

    8. α + β ⋅ γ = (α + β)⋅γ.

    9. α ⋅ (β ⋅ γ)=(α ⋅ β)⋅γ.

    10. α ⋅ β = β ⋅ α.

    11. α ⋅ (β + γ)=α ⋅ β + α ⋅ γ.

    12. (α + β)⋅γ = α ⋅ γ + β ⋅ γ.

    13. (α + β)2 = α2 + 2 ⋅ α ⋅ β + β2.

    14. (α + β)2 = α2 + α ⋅ β + β ⋅ α + β2.

  4. Cantor normal biçimleri bulun:

    1. 1 + ω + ω2 + ω3.

    2. 1 + ω2 + ω + ω3.

    3. 1 + ω3 + ω + ω2.

    4. ω3 + ω + ω2 + 1.

    5. 3 ⋅ (ω+4).

    6. (ω+4)⋅3.

    7. 2 + 3)⋅(ω + 4).

    8. (ω+4)⋅(ω2 + 3).

    9. 2 ⋅ 5 + 3)⋅(ω + 4).

    10. (ω+4)⋅(ω2 ⋅ 5 + 3).

  5. Cantor normal biçimleri bulun:

    1. ωωω ⋅ 2 + ω17 ⋅ 5 + ωω5 ⋅ 14 + ωωω + ω17 ⋅ 6 + ω + 317

    2. 2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5)⋅(ωω ⋅ 3 ⋅ 16 + ω2 ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)

    3. ω ⋅ 2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5)⋅(ωω ⋅ 3 ⋅ 16 + ω2 ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)

    4. ω ⋅ 2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5)⋅(ωω3 ⋅ 16 + ω2 ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)

    5. (ω+5)2

    6. 9ω + 2

    7. (ω+5)ω + 2

    8. ω)ωω

    9. ωω)ωω

    10. 6ω1330

  6. Çözün:

    1. ξ + ω2 + η = 15 + ω2 + 16

    2. ξ ⋅ ω + η ⋅ ω = (ξ + η)⋅ω

  7. Çözün.

    1. 1 ⊕ ℵξ = ℵ3

    2. ξ ⊗ ℵω = ℵω

    3. (ℵω ⊕ ℵω2)⊗ℵω ⋅ 3 = ℵξ

    4. (ℵα)α = 2ξ

    5. kard(℘(ℵξ))=2ω + 1

    6. kard(ωωω + ωω + ω + 75)=ℵξ

  8. Her kümenin kardinali, α veya α biçiminde yazin.

    1. Sayilabilir ordinallerin oluşturduğu küme

    2. ’nin sonlu altkümelerinin oluşturduğu küme

    3. ’nin sayilabilir altkümelerinin oluşturduğu küme

    4. ’nin sayilamaz altkümelerinin oluşturduğu küme

    5. sup{ℵ0, ℵ00, ℵ000, ℵ0000, …}

    6. sup {ω,ωωωω,…}

    7. 3 ⊕ ℵ5

    8. 5 ⊗ ℵ3

    9. 2 ⋅ ω ⊕ ℵω ⋅ 2

    10. (ℵ2 ⊕ ℵ3)⊗(ℵω ⊕ ℵ16)

    11. ω ⊕ ℵωω

    12. ωω ⊗ ℵω

    13. (ℝ)

    14. ω

    15. (ℵ0)0

    16. (ℶ0)0

    17. (ℶ1)1

    18. (ℵ1)1

    19. (ℵω2 ⋅ 3 + ω)ωω

    20. (ℶω + 1)ω

    21. (ℶω)

%d bloggers like this: