Açılar ve uzunluklar
Şimdiye kadar sadece yönlü doğru parçalarının eşitliğini kullandık; ayrıca bir doğrunun noktaları sıralı bile olmayabilirdi.
Öklid’de
-
bir doğrunun noktaları sıralanmıştır (dolayısıyla oranlar da sıralanmıştır),
-
paralel olmayan doğru parçaları eşit olabilir,
-
karşılıklı kenarları paralel olmayan açılar da eşit olabilir.
Eşitliğe göre bir doğru parçasının denklik sınıfı, uzunluğudur. Öklid’deki gibi (örneğin Öğeler’in birinci kitabının 22. önermesinde) uzunluklar toplanabilir. Uç noktaları A ve B olan doğru parçasının uzunluğu
|AB|
olsun. O zaman
|AB| = |BA|,
|AB| = 0 ⇔ A = B
olur. Öğeler’in birinci kitabının 3. önermesi sayesinde iki uzunluğun pozitif oranı vardır. Öyleyse uzunluklar ve pozitif oranlar arasında eşlemeler vardır. Aslında her |AB| uzunluğu için, bir
|XY| ↦ |XY| : |AB|
eşlemesi vardır. Böyle bir eşleme, toplamaya saygı gösterir. Eğer Descartes gibi |AB| uzunluğunu birim olarak alırsak, o zaman iki uzunluğun çarpımını bir uzunluk olarak tanımlayabiliriz.
ABC ve DEF üçgeninde
|AB| = |DE| ∧ |BC| = |EF|
olduğunda, Öğeler’in birinci kitabının 4. ve 8. önermesine göre
|AC| = |DF| ⇔ ∠ABC = ±∠DEF
olur. Bu sonuca Üçgen Teoremi densin. Bizim için, ∠ABC (“açı ABC,” yani ABC açısı), (BA, BC) sıralı ikilisi tarafından belirtilir, ve
∠CBA = −∠ABC
olur. Eğer G ve H, sırasıyla BA ve BC doğrusunda ise, ve ayrıca
(BG : BA) ⋅ (BH : BC) > 0
ise, o zaman (BA, BC) ve (BG, BH), aynı açıyı temsil eder.
Öğeler’in birinci kitabının 23. önermesi sayesinde iki açı toplanabilir. Bununla birlikte açıların çarpımı veya oranı yoktur.
Denklik (4.2)’de hangi işaret doğrudur? Öğeler’in birinci kitabının 37. ve 39. önermesine göre birbirinden farklı olan ABC ve ABD üçgeni verildiğinde
ABC = ABD ⇔ AB ∥ CD.
Burada C ve D’nin AB’nin aynı tarafında olması koşuluna ihtiyacımız yoktur çünkü yönelimli olarak üçgenleri alıyoruz. Aslında
ABC = BCA = CAB,
ama
CBA = −ABC.
Ayrıca
ABC = 0 ⇔ A, B, ve C aynı doğrudadır.
Şimdi koşul (4.1) altında denklik (4.2)’nin yerine
|AC| = |DF| ⇔ ABC = ±DEF,
ABC = DEF ⇔ ∠ABC = ∠DEF
kullanılabilir.
Öklid’de, verilen bir noktadan uzaklığı aynı olan noktalar, bir çember oluşturur, ve verilen nokta, çemberin merkezidir. Öğeler’in birinci kitabının 2. ve 3. önermesinin kanıtında kullanılan varsayıma göre, merkezinden geçen her doğru, çemberi iki noktada keser. Merkezi O olan bir çemberde öyle E1, E2, ve F noktası seçilsin ki
-
E1F doğrusu O’dan geçer,
-
∠E1OE2 = ∠E2OF
olsun. O zaman OE1 ve OE2, birbirine diktir. Şimdi A, çemberin rastgele bir noktası olsun, ve
O + e1 = E1 ∧ O + e2 = E2 ∧ O + a = A,
∠E1OA = α
olsun. O zaman tanıma göre cos(α) ve sin(α) oranları,
a = cos(α) ⋅ e1 + sin(α) ⋅ e2
eşitliğini sağlar. Ayrıca
tan(α) = sin(α) ⋅ cos(α)−1.
Eşitliğe göre bir çokgenin denklik sınıfı, alanıdır. Öğeler’in birinci kitabının 44. ve 45. önermesi sayesinde iki alanın oranı vardır.
Bir a alanının |a| mutlak değeri vardır. Örneğin
|CBA| = |ABC|.
Kenarı AB olan bir karenin alanının mutlak değeri,
|AB|2
olarak yazılabilir, ve kenarı AB ve BC olan bir dikdörtgenin alanının mutlak değeri,
|AB| ⋅ |BC|
çarpımı olarak yazılabilir. Şimdi Öğeler’in ikinci kitabının 12. ve 13. önermesi, Kosinüs Teoremi olarak anlaşılabilir:
|AC|2 = |AB|2 + |BC|2 − 2 cos(∠ABC) ⋅ |AB| ⋅ |BC|.
Teorem. Herhangi α ve β açısı için
cos(β − α) = cos(β) ⋅ cos(α) + sin(β) ⋅ sin(α),
sin(β − α) = sin(β) ⋅ cos(α) − cos(β) ⋅ sin(α),
dolayısıyla
tan(β − α) = (tan(β) − tan(α)) ⋅ (1 − tan(β) ⋅ tan(α))−1.
Kanıt. Tekrar e1 ve e2, yukarıdaki gibi olsun; A1 ve B, E1 ve E2 ile aynı çemberde olsun; ve
O + a1 = A1 ∧ O + b = B,
∠E1OA1 = α ∧ ∠E1OB = β
olsun. O zaman
b = cos(β) ⋅ e1 + sin(β) ⋅ e2,
a1 = cos(α) ⋅ e1 + sin(α) ⋅ e2
olur. Şimdi
a2 = −sin(α) ⋅ e1 + cos(α) ⋅ e2,
O + a2 = A2
olsun. O zaman Üçgen Teoremi’nden
|OA2| = |OA1| = |OE1|,
∠E2OA2 = ∠E2OA1 = α,
∠A1OA2 =∠ E1OE2 = dik açı
olur. Bundan dolayı
b = cos(β − α) ⋅ a1 + sin(β − α) ⋅ a2.
Ayrıca
e1 = cos(α) ⋅ a1 − sin(α) ⋅ a2,
e2 = sin(α) ⋅ a1 + cos(α) ⋅ a2
olur, dolayısıyla
b = cos(β) ⋅ (cos(α) ⋅ a1 − sin(α) ⋅ a2)
+ sin(β) ⋅ (sin(α) ⋅ a1 + cos(α) ⋅ a2)
= (cos(β) ⋅ cos(α) + sin(β) ⋅ sin(α)) ⋅ a1
− (cos(β) ⋅ sin(α) − sin(β) ⋅ cos(α)) ⋅ a2
olur. ∎
Sonuç olarak (e1, e2) sisteminde herhangi a ve b vektörü için
a ⋅ a = |a|2
olduğunda
a ⋅ b = |a| ⋅ |b| cos(a, b)
olur. (Devam edilecek …)
Polytropy 