İçerik

Koordinatlar

Bu sayfada:

• Vektörler

• Oranlar

• Üç düzlem (22 Mart 2020 gününde eklenmiş)

• Doğrular

Vektörler

Öklid’in Öğeler’inin birinci kitabında doğru parçalarının eşitliği

1. simetriktir,

2. Önerme 6’nın kanıtındaki gibi yansımalıdır,

3. birinci ortak kavram sayesinde geçişlidir.

Bundan dolayı doğru parçalarının eşitliği bir denklik bağıntısıdır.

Önerme 30 sayesinde eğer paralellik de yansımalı olarak sayılırsa, o da bir denklik bağıntısıdır.

Paralelkenar Teoremi. Her ABC üçgeni için, bir ve tek bir D noktası için, ABCD bir paralelkenardır. ∎

Desargues Teoremi I. ABC ve DEF üçgeni verildiğinde AD, BE, ve CF birbirinden farklı ama birbirine paralel olsun. O zaman

olur. ∎

Düzlemde rastgele A, B, C, ve D noktası için eğer

1. ABDC bir paralelkenar ise, veya

2. AB ve CD aynı doğru ise ama bazı E ve F için ABFE ve CDFE paralelkenar ise, veya

3. A = B ve C = D ise,

o zaman tanıma göre

olsun. Burada AB, bir yönlü doğru parçasıdır. (El yazısında üstçizgi, bir ok olabilir. AA, gerçek bir yönlü doğru parçası değildir ama bazen sayılabilir.)

Vektör Teoremi. Yönlü doğru parçalarının eşitliği, bir denklik bağıntısıdır. Ayrıca

1. her AB ve C için, bir ve tek bir D için, eşitlik (1.2) doğrudur;

2. Her A, B, ve C için

   AA = BC ⇔ B = C.

3. eğer eşitlik (1.2) doğru ise, o zaman

   BA = DC

   eşitliği de doğrudur;

4. her durumda

   AB = DE ∧ BC = EF ⇒ AC = DF

   olur. ∎

Eşitliğe göre bir yönlü doğru parçasının denklik sınıfı, bir vektördür. Şimdi Vektör Teoremi’nin aşağıdaki sonuçları vardır.

1. Bir A noktası verilsin.

   • Her v vektörü için, bir ve tek bir B noktası için, AB yönlü doğru parçası, v vektörünü temsil eder. Bu durumda

     (1.3)

     A + v = B

     yazılabilir. (El yazısında v vektörü, dalgalı bir altçizgi ile, v olarak yazılabilir.)

   • Her B noktası için, bir ve tek bir v vektörü için, AB yönlü doğru parçası, v vektörünü temsil eder, dolayısıyla tekrar eşitlik (1.3) doğrudur.

   Böylece vektörler ve düzlemin noktaları arasında bir eşleme (birebir ve örten bir gönderme) vardır. Bu eşleme,

   x ↦ A + x

   göndermesidir.

2. Bir ve tek bir 0 vektörü için, her A noktası için,

   A + 0 = A

   olur.

3. Her v vektörü için, bir ve tek bir −v vektörü için, eğer eşitlik (1.3) doğru ise, o zaman

   B + −v = A

   eşitliği de doğrudur. Böylece düzlemin

   X ↦ X + v

   ötelemesi, bir eşleşmedir (çünkü tersi vardır).

4. Herhangi v ve w vektörü için, bir ve tek bir v + w vektörü için, eğer eşitlik (1.3) ve ayrıca

   B + w = C

   doğru ise, o zaman

   A + (v + w) = C

   eşitliği de doğrudur.

5. Tüm a, b, ve c vektörü için

   a + b = b + a,

   a + (b + c) = (a + b) + c,

   a + 0 = a,

   a + (−a) = 0

   olur. Kısaca vektörler, bir abelyan grup oluşturur.

6. Her D noktası için

   D + (a + b) = (D + a) + b

   olur. Kısaca vektörler grubu, düzleme etki eder. Vektörler grubunun etkisi, gördüğümüz gibi,

   • geçişlidir, çünkü her A ve her B için, en az bir v için, eşitlik (1.3) doğrudur;

   • serbesttir, çünkü her A ve her B için, en çok bir v için, eşitlik (1.3) doğrudur.

Yukarıdaki terimler önemli değildir ama kavramları önemlidir. Eğer düzlemde bir O noktası seçilirse, o zaman düzlem, vektörler grubu gibi oluyor. Örneğin A, B, C, ve D noktası verilsin. O zaman tek bir şekilde bazı a, b, c, ve d vektörü için

olur, dolayısıyla

olur. Eğer ayrıca ABCD bir paralelkenar ise, o zaman

olur, dolayısıyla

olur, ve sonuç olarak

olur. Aynı sonuç

biçiminde yazılabilir. Burada O’nun yeri fark etmez.

Oranlar

Pappus Altıgen Teoremi. Eğer iki doğru için bir altıgenin kenarlarından her biri doğruların birinden diğerine geçerse, ve iki durumda altıgenin karşıt kenarları birbirine paralel ise, o zaman üçüncü durumda da karşıt kenarlar paraleldir.

Kanıt. Öklid’den önermeler 37 ve 39 kullanılır. ∎

Desargues Teoremi II. ABC ve DEF üçgeni verildiğinde AD, BE, ve CF bir noktada kesişsin. O zaman gerektirme (1.1) doğrudur.

Kanıt. Hessenberg’in 1905 yılında yayınlanmış makalesinde Desargues, Pappus’tan elde edilir. ∎

Düzlemde rastgele OA ve UE doğrusu için, OA’nın herhangi C noktası için, UE’nin herhangi F noktası için, OA’nın bazı B ve D noktası için

olsun. Eğer

• C = O = D ise, veya

• OA ve OB aynı doğru olmadığında CD ∥ AB ise, veya

• OA ve OB aynı doğru olduğunda bir OG doğrusu ve oradaki bir H noktası için

  CH ∥ AG ∧ DH ∥ BG

  ise,

o zaman tanıma göre

olsun. Burada OCA, bir bölünmüş yönlü doğru parçasıdır.

Oran Teoremi. Bölünmüş yönlü doğru parçalarının eşitliği, bir denklik bağıntısıdır. Ayrıca

1. her OCA ve UE için, eğer U ≠ E ise, o zaman bir ve tek bir F için, eşitlik (1.4) doğrudur;

2. her OA, UE, ve F için,

   OAA = UFE ⇔ F = E;

3. her OA, UE, ve F için,

   OOA = UFE ⇔ U = F;

4. eğer eşitlik (1.4) doğru ise, ve ayrıca C ≠ O ise, o zaman F ≠ U ve

   OAC = UEF

   olur;

5. her durumda

   OBA = UED ∧ OCB = UFE ⇒ OCA = UFD

   olur.

Eşitliğe göre bir bölünmüş yönlü doğru parçasının denklik sınıfı, bir orandır. OCA bölünmüş yönlü doğru parçasının temsil ettiği oran,

olarak yazılabilir. Eğer eşitlik (1.4) doğru ise, o zaman OC : OA oranının ve UF : UE oranının aynılığı,

orantısı ile ifade edilebilir. Şimdi bizim için Thales Teoremi, tanıma göre doğrudur. Öklid, oranlar için bizimkinden farklı olan bir tanımı kullanarak Thales Teoremi’ni, Öğeler’in altıncı kitabının ikinci önermesinde kanıtlar.

Bir A noktası bir OC doğrusunda olduğunda eğer

ise, o zaman OAC bölünmüş yönlü doğru parçasının temsil ettiği OA : OC oranı

olarak yazılabilir.

Şimdi Oran Teoremi’nin aşağıdaki sonuçları vardır.

1. 0 olmayan bir e vektörü verilsin.

   • Her a oranı için, e’ye paralel olan bir ve tek bir b vektörü için,

     a = b : e

     olur. Bu durumda

     (1.5)

     a ⋅ e = b

     yazılabilir.

   • e’ye paralel olan her b vektörü için, bir ve tek bir a oranı için, tekrar eşitlik (1.5) doğrudur.

   Böylece 0 olmayan bir e vektörü verildiğinde, oranlar ve e vektörüne paralel olan vektörler arasında bir eşleme vardır. Bu eşleme,

   x ↦ x ⋅ e

   göndermesidir.

2. Bir ve tek bir 1 oranı için, 0 olmayan her e vektörü için,

   1 ⋅ e = e.

3. Bir ve tek bir 0 oranı için, 0 olmayan her e vektörü için,

   0 ⋅ e = 0.

4. 0 olmayan her a oranı için, bir ve tek bir a⁻¹ oranı için, eğer eşitlik (1.5) doğru ise, o zaman

   a⁻¹ ⋅ b = e

   eşitliği de doğrudur. Böylece vektörlerin

   x ↦ a ⋅ x

   genleşmesi, bir eşleşmedir.

5. 0 olmayan her a oranı için, her c oranı için, bir ve tek bir c ⋅ a veya ca oranı için, eğer eşitlik (1.5) ve ayrıca

   c ⋅ b = d

   doğru ise, o zaman

   ca ⋅ e = d

   eşitliği de doğrudur.

6. 0 olmayan tüm a, b, ve c oranı için

   a(bc) = (ab)c,

   a1 = a = 1a,

   aa⁻¹ = 1 = a⁻¹a

   olur. Kısaca 0 olmayan oranlar, bir grup oluşturur.

7. 0 olmayan her e vektörü için

   ba ⋅ e = b ⋅ (a ⋅ e)

   olur. Kısaca 0 olmayan oranlar grubu, 0 olmayan vektörlere etki eder. 0 olmayan oranlar grubunun etkisi serbesttir; verilen 0 olmayan bir vektöre paralel olan ve 0 olmayan vektörlerde etki geçişlidir.

Teorem. Oranlar çarpması değişmelidir.

Kanıt. Pappus Teoremi kullanılır. ∎

Tanıma göre her a oranı için

olsun.

Teorem. Her a oranı için, tüm b ve c vektörü için,

olur. ∎

Teorem. Bütün a ve b oranı için, bir a + b oranı için, her c vektörü için,

olur, dolayısıyla her d oranı için

olur. ∎

Sonuç olarak:

1. Oranlar bir cisim oluşturur, yani

   • toplama altında oranlar bir abelyan grup oluşturur,

   • çarpma altında sıfır olmayan oranlar bir abelyan grup oluşturur,

   • toplama üzerinde çarpma dağılır.

2. Oranlar cismi üzerinde vektörler grubu, bir vektör uzayı olur, çünkü her durumda

   1 ⋅ a = a,

   (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c,

   a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c,

   (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).

3. Herhangi O noktası ve paralel olmayan a ve b vektörü için, her P noktası için, girdileri oran olan bir ve tek bir (x, y) sıralı ikilisi için

   (1.6)

   P = O + x ⋅ a + y ⋅ b

   olur. Kısaca

   • (O, a, b) bir kartezyan koordinatlar sistemidir,

   • O, sistemin orijinidir,

   • a, sistemin birinci taban elemanıdır,

   • b, sistemin ikinci taban elemanıdır.

Eğer (O, a, b) sistemi anlaşılabilirse, o zaman eşitlik (1.6) ile tanımlanan P noktası

olarak yazılabilir.

Üç düzlem

Bir (O, a, b) koordinatlar sistemine göre, (x, y) sıralı ikilisini oluşturan, eşitlik (1.6)’daki x ve y, P noktasının koordinatlarıdır. Burada (a, b), vektörlerin uzayının bir tabanıdır çünkü her vektör, bir ve tek bir şekilde, bir

doğrusal bileşimi olur. Sonuç olarak vektörlerin uzayı, iki-boyutludur.

Oranlar, K cismini oluşturduğunda, girdileri oran olan sıralı ikililer,

kümesini oluşturur. Bu kümede, tanıma göre, a, b, c, ve d oran olduğunda,

olur. Vektörlerin sağladığı kuralları sağlayarak K² de, K üzerinde iki-boyutlu bir vektör uzayı olur. Aslında

K² uzayının bir tabanıdır. Eğer tanıma göre

ise, o zaman F, K² ve vektörler arasında bir eşlemedir. O halde

K² ve düzlemimiz arasında bir eşlemedir. Ayrıca F, doğrusal bir göndermedir, çünkü her durumda

Kısaca F, vektör uzaylarımızın bir izomorfizmasıdır.

Şimdi üç düzlem vardır:

1. Öklid düzlemi,

2. vektörler düzlemi,

3. K² düzlemi.

Bunlar birbiriyle eşleniktir.

Öklid düzleminin hiç özel noktası yoktur. Gördüğümüz gibi eğer Öklid düzleminde herhangi O noktası seçilirse, o zaman vektörler düzleminden Öklid düzlemine giden

eşlemesi vardır. Bu eşleme 0’ı, O’ya gönderir.

Vektörler düzleminin, 0’dan farklı olan hiç özel noktası yoktur. Eğer 0 ile aynı doğruda olmayan (yani birbirinin bir katı olmayan, veya birbirine paralel olmayan, veya bir taban oluşturan) herhangi a ve b vektörü seçilirse, o zaman K² düzleminden vektörler düzlemine giden

eşlemesi vardır.

K² düzleminin her noktası özeldir, çünkü kendi koordinatları vardır.

Bir (O, a, b) koordinatlar sistemi seçildiğinde Öklid düzlemi, K² düzlemi gibi olur.

Doğrular

Tekrar oranlar, K cismini oluştursun. Eğer A ve B birbirinden farklı olan iki nokta ve

ise, o zaman

Burada koordinatlar kullanılmaz.

Bir (O, a, b) koordinatlar sistemi verildiğinde eğer

• A, O’dan farklı;

• A’nın koordinatları, (a, b)

ise, o zaman Thales Teoremi sayesinde OA doğrusu,

denklemi tarafından tanımlanır, ve OA’ya paralel olan doğruların her biri, bir

denklemi tarafından tanımlanır.

Eğer d ≠ 0 ise, o zaman denklem (1.7) ve

denklemi, aynı doğruyu tanımlar. Genelde

denklemlerinin paralel doğruları tanımlaması için

gerek ve yeter bir koşuldur.

Alıştırma. İki doğrunun ne zaman paralel olduğunu söyleyebilecek durumda olun.

Eğer bir K cismi verilirse, girdileri K’den gelen sıralı ikililer, K² kümesini oluşturur. Bu kümenin

• elemanları, bir düzlemin noktaları;

• denklemler (1.7) tarafından tanımlanmış altkümeleri, düzlemin doğruları

olarak alınabilir. Bu düzlemden yukarıdaki gibi bir oranlar cismi elde edilebilir, ve bu cisim K’ye izomorftur.

Bir istisna vardır. K’de 1 + 1, 0’dan farklı olmalıdır. Zira eğer ABCD bir paralelkenar ise, o zaman

dolayısıyla

Bir p asal modülüne göre tamsayıların kalandaşlık sınıfları, p-elemanlı bir cismi oluşturur, çünkü Öklid Algoritması sayesinde eğer a, p’nin bir katı değilse, o zaman

kalandaşlığı çözülebilir. Dediğimiz gibi Öklid geometrisini yapmak için p, 2 olamaz.

Normalde oranlar cismi, gerçel sayıların oluşturduğu ℝ sıralanmış cismi olarak alınabilir. Kesirli sayılar, ℚ sıralanmış cismini oluşturur ama bu cismin bazı pozitif elemanları kare değildir.

Alıştırma. ABCD bir paralelkenar olduğunda eğer A, B, ve C’nin koordinatları verilirse, D’nin koordinatları nedir?