Analitik Geometri: Koordinatlar

İçerik

Koordinatlar

Bu sayfada:

Vektörler

Öklid’in Öğeler’inin birinci kitabında doğru parçalarının eşitliği

  1. simetriktir,

  2. Önerme 6’nın kanıtındaki gibi yansımalıdır,

  3. birinci ortak kavram sayesinde geçişlidir.

Bundan dolayı doğru parçalarının eşitliği bir denklik bağıntısıdır.

Önerme 30 sayesinde eğer paralellik de yansımalı olarak sayılırsa, o da bir denklik bağıntısıdır.

Paralelkenar Teoremi diyagramı

Paralelkenar Teoremi. Her ABC üçgeni için, bir ve tek bir D noktası için, ABCD bir paralelkenardır. ∎

Desargues Teorem I diyagramı

Desargues Teoremi I. ABC ve DEF üçgeni verildiğinde AD, BE, ve CF birbirinden farklı ama birbirine paralel olsun. O zaman

ABDEBCEFACDF

olur. ∎

Yönlü doğru parçalarının eşitliğinin tanımının üç durumu

Düzlemde rastgele A, B, C, ve D noktası için eğer

  1. ABDC bir paralelkenar ise, veya

  2. AB ve CD aynı doğru ise ama bazı E ve F için ABFE ve CDFE paralelkenar ise, veya

  3. A = B ve C = D ise,

o zaman tanıma göre

AB = CD

olsun. Burada AB, bir yönlü doğru parçasıdır. (El yazısında üstçizgi, bir ok olabilir. AA, gerçek bir yönlü doğru parçası değildir ama bazen sayılabilir.)

Vektör Teoremi. Yönlü doğru parçalarının eşitliği, bir denklik bağıntısıdır. Ayrıca

  1. her AB ve C için, bir ve tek bir D için, eşitlik (1.2) doğrudur;

  2. Her A, B, ve C için

    AA = BCB = C.

  3. eğer eşitlik (1.2) doğru ise, o zaman

    BA = DC

    eşitliği de doğrudur;

  4. her durumda

    AB = DEBC = EFAC = DF

    olur. ∎

Eşitliğe göre bir yönlü doğru parçasının denklik sınıfı, bir vektördür. Şimdi Vektör Teoremi’nin aşağıdaki sonuçları vardır.

  1. Bir A noktası verilsin.

    • Her v vektörü için, bir ve tek bir B noktası için, AB yönlü doğru parçası, v vektörünü temsil eder. Bu durumda

      A + v = B

      yazılabilir. (El yazısında v vektörü, dalgalı bir altçizgi ile, v olarak yazılabilir.)

    • Her B noktası için, bir ve tek bir v vektörü için, AB yönlü doğru parçası, v vektörünü temsil eder, dolayısıyla tekrar eşitlik (1.3) doğrudur.

    Böylece vektörler ve düzlemin noktaları arasında bir eşleme (birebir ve örten bir gönderme) vardır. Bu eşleme,

    xA + x

    göndermesidir.

  2. Bir ve tek bir 0 vektörü için, her A noktası için,

    A + 0 = A

    olur.

  3. Her v vektörü için, bir ve tek bir −v vektörü için, eğer eşitlik (1.3) doğru ise, o zaman

    B + −v = A

    eşitliği de doğrudur. Böylece düzlemin

    XX + v

    ötelemesi, bir eşleşmedir (çünkü tersi vardır).

  4. Herhangi v ve w vektörü için, bir ve tek bir v + w vektörü için, eğer eşitlik (1.3) ve ayrıca

    B + w = C

    doğru ise, o zaman

    A + (v + w) = C

    eşitliği de doğrudur.

  5. Tüm a, b, ve c vektörü için

    a + b = b + a,

    a + (b + c) = (a + b) + c,

    a + 0 = a,

    a + (−a) = 0

    olur. Kısaca vektörler, bir abelyan grup oluşturur.

  6. Her D noktası için

    D + (a + b) = (D + a) + b

    olur. Kısaca vektörler grubu, düzleme etki eder. Vektörler grubunun etkisi, gördüğümüz gibi,

    • geçişlidir, çünkü her A ve her B için, en az bir v için, eşitlik (1.3) doğrudur;

    • serbesttir, çünkü her A ve her B için, en çok bir v için, eşitlik (1.3) doğrudur.

Yukarıdaki terimler önemli değildir ama kavramları önemlidir. Eğer düzlemde bir O noktası seçilirse, o zaman düzlem, vektörler grubu gibi oluyor. Örneğin A, B, C, ve D noktası verilsin. O zaman tek bir şekilde bazı a, b, c, ve d vektörü için

O + a = AO + b = BO + c = CO + d = D

olur, dolayısıyla

Aa + b = B,

Dd + c = C

olur. Eğer ayrıca ABCD bir paralelkenar ise, o zaman

AB = DC,

olur, dolayısıyla

a + b = − d + c

olur, ve sonuç olarak

d = a + cb

olur. Aynı sonuç

D = A + CB

biçiminde yazılabilir. Burada O’nun yeri fark etmez.

Oranlar

Pappus Teoremi diyagramı

Pappus Altıgen Teoremi. Eğer iki doğru için bir altıgenin kenarlarından her biri doğruların birinden diğerine geçerse, ve iki durumda altıgenin karşıt kenarları birbirine paralel ise, o zaman üçüncü durumda da karşıt kenarlar paraleldir.

Kanıt. Öklid’den önermeler 37 ve 39 kullanılır. ∎

Desargues Teoremi II diyagramı

Desargues Teoremi II. ABC ve DEF üçgeni verildiğinde AD, BE, ve CF bir noktada kesişsin. O zaman gerektirme (1.1) doğrudur.

Desargues için Hessenberg'in kanıtı

Kanıt. Hessenberg’in 1905 yılında yayınlanmış makalesinde Desargues, Pappus’tan elde edilir. ∎

Bölünmüş doğru parçalarının eşitliğinin diyagramı

Düzlemde rastgele OA ve UE doğrusu için, OA’nın herhangi C noktası için, UE’nin herhangi F noktası için, OA’nın bazı B ve D noktası için

UE = OBUF = OD

olsun. Eğer

  • C = O = D ise, veya

  • OA ve OB aynı doğru olmadığında CDAB ise, veya

  • OA ve OB aynı doğru olduğunda bir OG doğrusu ve oradaki bir H noktası için

    CHAGDHBG

    ise,

o zaman tanıma göre

OCA = UFE

olsun. Burada OCA, bir bölünmüş yönlü doğru parçasıdır.

Oran Teoremi. Bölünmüş yönlü doğru parçalarının eşitliği, bir denklik bağıntısıdır. Ayrıca

  1. her OCA ve UE için, eğer UE ise, o zaman bir ve tek bir F için, eşitlik (1.4) doğrudur;

  2. her OA, UE, ve F için,

    OAA = UFEF = E;

  3. her OA, UE, ve F için,

    OOA = UFEU = F;

  4. eğer eşitlik (1.4) doğru ise, ve ayrıca CO ise, o zaman FU ve

    OAC = UEF

    olur;

  5. her durumda

    OBA = UEDOCB = UFEOCA = UFD

    olur.

Eşitliğe göre bir bölünmüş yönlü doğru parçasının denklik sınıfı, bir orandır. OCA bölünmüş yönlü doğru parçasının temsil ettiği oran,

OC : OA

olarak yazılabilir. Eğer eşitlik (1.4) doğru ise, o zaman OC : OA oranının ve UF : UE oranının aynılığı,

OC : OA :: UF : UE

orantısı ile ifade edilebilir. Şimdi bizim için Thales Teoremi, tanıma göre doğrudur. Öklid, oranlar için bizimkinden farklı olan bir tanımı kullanarak Thales Teoremi’ni, Öğeler’in altıncı kitabının ikinci önermesinde kanıtlar.

Thales Teoremi diyagramı

Bir A noktası bir OC doğrusunda olduğunda eğer

O + a = AO + c = C

ise, o zaman OAC bölünmüş yönlü doğru parçasının temsil ettiği OA : OC oranı

a : c

olarak yazılabilir.

Şimdi Oran Teoremi’nin aşağıdaki sonuçları vardır.

  1. 0 olmayan bir e vektörü verilsin.

    • Her a oranı için, e’ye paralel olan bir ve tek bir b vektörü için,

      a = b : e

      olur. Bu durumda

      ae = b

      yazılabilir.

    • e’ye paralel olan her b vektörü için, bir ve tek bir a oranı için, tekrar eşitlik (1.5) doğrudur.

    Böylece 0 olmayan bir e vektörü verildiğinde, oranlar ve e vektörüne paralel olan vektörler arasında bir eşleme vardır. Bu eşleme,

    xxe

    göndermesidir.

  2. Bir ve tek bir 1 oranı için, 0 olmayan her e vektörü için,

    1 ⋅ e = e.

  3. Bir ve tek bir 0 oranı için, 0 olmayan her e vektörü için,

    0 ⋅ e = 0.

  4. 0 olmayan her a oranı için, bir ve tek bir a−1 oranı için, eğer eşitlik (1.5) doğru ise, o zaman

    a−1b = e

    eşitliği de doğrudur. Böylece vektörlerin

    xax

    genleşmesi, bir eşleşmedir.

  5. 0 olmayan her a oranı için, her c oranı için, bir ve tek bir c ⋅ a veya ca oranı için, eğer eşitlik (1.5) ve ayrıca

    cb = d

    doğru ise, o zaman

    cae = d

    eşitliği de doğrudur.

  6. 0 olmayan tüm a, b, ve c oranı için

    a(bc) = (ab)c,

    a1 = a = 1a,

    aa−1 = 1 = a−1a

    olur. Kısaca 0 olmayan oranlar, bir grup oluşturur.

  7. 0 olmayan her e vektörü için

    bae = b ⋅ (ae)

    olur. Kısaca 0 olmayan oranlar grubu, 0 olmayan vektörlere etki eder. 0 olmayan oranlar grubunun etkisi serbesttir; verilen 0 olmayan bir vektöre paralel olan ve 0 olmayan vektörlerde etki geçişlidir.

Teorem. Oranlar çarpması değişmelidir.

Kanıt. Pappus Teoremi kullanılır. ∎

Tanıma göre her a oranı için

a0 = 0

olsun.

Teorem. Her a oranı için, tüm b ve c vektörü için,

a ⋅ (b + c) = ab + ac

olur. ∎

Teorem. Bütün a ve b oranı için, bir a + b oranı için, her c vektörü için,

(a + b) ⋅ c = ac + bc

olur, dolayısıyla her d oranı için

(a + b) ⋅ d = ad + bd

olur. ∎

Sonuç olarak:

  1. Oranlar bir cisim oluşturur, yani

    • toplama altında oranlar bir abelyan grup oluşturur,

    • çarpma altında sıfır olmayan oranlar bir abelyan grup oluşturur,

    • toplama üzerinde çarpma dağılır.

  2. Oranlar cismi üzerinde vektörler grubu, bir vektör uzayı olur, çünkü her durumda

    1 ⋅ a = a,

    (a + b) ⋅ c = ac + bc,

    a ⋅ (b + c) = ab + ac,

    (ab) ⋅ c = a ⋅ (bc).

  3. Herhangi O noktası ve paralel olmayan a ve b vektörü için, her P noktası için, girdileri oran olan bir ve tek bir (xy) sıralı ikilisi için

    P = O + xa + yb

    olur. Kısaca

    • (O, a, b) bir kartezyan koordinatlar sistemidir,

    • O, sistemin orijinidir,

    • a, sistemin birinci taban elemanıdır,

    • b, sistemin ikinci taban elemanıdır.

Eğer (O, a, b) sistemi anlaşılabilirse, o zaman eşitlik (1.6) ile tanımlanan P noktası

(xy)

olarak yazılabilir.

Üç düzlem

Bir (O, a, b) koordinatlar sistemine göre, (xy) sıralı ikilisini oluşturan, eşitlik (1.6)’daki x ve y, P noktasının koordinatlarıdır. Burada (a, b), vektörlerin uzayının bir tabanıdır çünkü her vektör, bir ve tek bir şekilde, bir

xa + yb

doğrusal bileşimi olur. Sonuç olarak vektörlerin uzayı, iki-boyutludur.

Oranlar, K cismini oluşturduğunda, girdileri oran olan sıralı ikililer,

K2

kümesini oluşturur. Bu kümede, tanıma göre, a, b, c, ve d oran olduğunda,

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

c ⋅ (a, b) = (ca, cb)

olur. Vektörlerin sağladığı kuralları sağlayarak K2 de, K üzerinde iki-boyutlu bir vektör uzayı olur. Aslında

((1,0), (0,1)),

K2 uzayının bir tabanıdır. Eğer tanıma göre

F(x, y) = xa + yb

ise, o zaman F, K2 ve vektörler arasında bir eşlemedir. O halde

(x, y) ↦ O + F(x, y),

K2 ve düzlemimiz arasında bir eşlemedir. Ayrıca F, doğrusal bir göndermedir, çünkü her durumda

F(s ⋅ (c1, c2) + t ⋅ (d1, d2))

= F(sc1 + td1, sc2 + td2)

= (sc1 + td1) ⋅ a + (sc2 + td2) ⋅ b

= s ⋅ (c1a + c2b) + t ⋅ (d1a + d2b)

= sF(c1, c2) + tF(d1, d2).

Kısaca F, vektör uzaylarımızın bir izomorfizmasıdır.

Şimdi üç düzlem vardır:

  1. Öklid düzlemi,

  2. vektörler düzlemi,

  3. K2 düzlemi.

Bunlar birbiriyle eşleniktir.

Öklid düzleminin hiç özel noktası yoktur. Gördüğümüz gibi eğer Öklid düzleminde herhangi O noktası seçilirse, o zaman vektörler düzleminden Öklid düzlemine giden

vO + v

eşlemesi vardır. Bu eşleme 0’ı, O’ya gönderir.

Vektörler düzleminin, 0’dan farklı olan hiç özel noktası yoktur. Eğer 0 ile aynı doğruda olmayan (yani birbirinin bir katı olmayan, veya birbirine paralel olmayan, veya bir taban oluşturan) herhangi a ve b vektörü seçilirse, o zaman K2 düzleminden vektörler düzlemine giden

(x, y) ↦ xa + yb

eşlemesi vardır.

K2 düzleminin her noktası özeldir, çünkü kendi koordinatları vardır.

Bir (O, a, b) koordinatlar sistemi seçildiğinde Öklid düzlemi, K2 düzlemi gibi olur.

Doğrular

Tekrar oranlar, K cismini oluştursun. Eğer A ve B birbirinden farklı olan iki nokta ve

A + c = B

ise, o zaman

AB = {A + tc : tK}.

Burada koordinatlar kullanılmaz.

Bir (O, a, b) koordinatlar sistemi verildiğinde eğer

  • A, O’dan farklı;

  • A’nın koordinatları, (ab)

ise, o zaman Thales Teoremi sayesinde OA doğrusu,

aybx = 0

denklemi tarafından tanımlanır, ve OA’ya paralel olan doğruların her biri, bir

aybx = c

denklemi tarafından tanımlanır.

Eğer d ≠ 0 ise, o zaman denklem (1.7) ve

adybdx = cd

denklemi, aynı doğruyu tanımlar. Genelde

ax + by = e,

cx + dy = f

denklemlerinin paralel doğruları tanımlaması için

adbc = 0,

gerek ve yeter bir koşuldur.

Alıştırma. İki doğrunun ne zaman paralel olduğunu söyleyebilecek durumda olun.

Eğer bir K cismi verilirse, girdileri K’den gelen sıralı ikililer, K2 kümesini oluşturur. Bu kümenin

  • elemanları, bir düzlemin noktaları;

  • denklemler (1.7) tarafından tanımlanmış altkümeleri, düzlemin doğruları

olarak alınabilir. Bu düzlemden yukarıdaki gibi bir oranlar cismi elde edilebilir, ve bu cisim K’ye izomorftur.

Bir istisna vardır. K’de 1 + 1, 0’dan farklı olmalıdır. Zira eğer ABCD bir paralelkenar ise, o zaman

ABC = CDA,

dolayısıyla

ABCD = ABC + CDA = 2ABC.

Bir p asal modülüne göre tamsayıların kalandaşlık sınıfları, p-elemanlı bir cismi oluşturur, çünkü Öklid Algoritması sayesinde eğer a, p’nin bir katı değilse, o zaman

ax + py ≡ 1 (mod p)

kalandaşlığı çözülebilir. Dediğimiz gibi Öklid geometrisini yapmak için p, 2 olamaz.

Normalde oranlar cismi, gerçel sayıların oluşturduğu ℝ sıralanmış cismi olarak alınabilir. Kesirli sayılar, ℚ sıralanmış cismini oluşturur ama bu cismin bazı pozitif elemanları kare değildir.

Alıştırma. ABCD bir paralelkenar olduğunda eğer A, B, ve C’nin koordinatları verilirse, D’nin koordinatları nedir?

%d bloggers like this: