Analitik Geometry: Uzay

İçerik

Uzay

Bu sayfada:

Vektörler ve oranlar

Aynı düzlemde olmayan dört nokta olsun. Öğeler’in 13 kitabının son üçünde Öklid’in incelediği uzaydayız. Kitap 11’in ilk üç önermesine göre, uzayda:

  1. bir düzlemin iki noktasının oturduğu doğru, düzlemde oturur;

  2. aynı doğruda olmayan üç nokta, bir ve tek bir düzlemde oturur;

  3. iki düzlem tek bir noktada kesişmez.

Sonuç olarak iki kesişen düzlem bir doğruda kesişir; aksi durumda düzlemler paraleldir. Tanıma göre bir doğru gibi bir düzlem, kendine de paralel olsun. İki paralel doğru, aynı düzlemde oturmalıdır.

Teorem. Eğer

  • AB ∥ DE ve AC ∥ FG ise, ve

  • DE ve FG aynı düzlemde oturursa,

o zaman

  • DE ve FG kesişir,

  • (Öğeler Önerme 11.15’teki gibi) DE ve FG’nin düzlemi, ABC’nin düzlemine paraleldir. ∎

Uzayda Desargues Teoremi diyagramı

Uzayda Desargues Teoremi. ABC ve DEF üçgeni aynı düzlemde olmasın, ve AD, BE, ve CF doğrusu

  • ya birbirine paralel olsun

  • ya da bir noktada kesişsin.

O zaman

AB ∥ DE ∧ BC ∥ EF ⇒ AC ∥ DF

olur.

Kanıt. Alıştırma. ∎

Şimdi düzlemdeki gibi

  • vektörler ve oranlar tanımlanır;

  • vektörler bir abelyan grup oluşturur;

  • oranlar bir cisim oluşturur;

  • oranlar cismi altında vektörler bir vektör uzayı oluşturur.

Ayrιca herhangi O noktası için ve paralel olmayan a ve b vektörü için, a ve b’nin oluşturduğu düzlemde olmayan herhangi c vektörü için, uzayda her P noktası için, girdileri oran olan bir ve tek bir (x, y, z) sıralı üçlüsü için

P = O + x ⋅ a + y ⋅ b + z ⋅ c

olur. Kısaca (O, a, b, c), orijini O olan bir kartezyan koordinatlar sistemidir. Eğer bu sistem anlaşılabilirse, o zaman eşitlik (3.1) ile tanımlanan P noktası

(x, y, z)

olarak yazılabilir. Oranlar, K cismini oluşturduğunda, girdileri oran olan sıralı üçlüler,

K3

kümesini oluşturur. K2 gibi K3, K üzerinde bir vektör uzayıdır. Öklid uzayı için yukarıdaki koordinatlar sistemi seçildiğinde,

  • K3 uzayından vektörlerin uzayına giden

    (x, y, z) ↦ x ⋅ a + y ⋅ b + z ⋅ c

    eşlemesi vardır,

  • vektörlerin uzayından Öklid düzlemine giden, 0’ı O’ya gönderen

    v ↦ O + v

    eşlemesi vardır.

Doğrular ve düzlemler

Tekrar oranlar, K cismini oluştursun. Uzayda eğer A, B, ve C, aynı doğruda olmayan üç nokta ve

A + d = B ∧ A + e = C

ise, o zaman

  • AB doğrusunun noktaları,

    {A + s ⋅ d : s ∈ K}

    kümesini oluşturur;

  • A, B, ve C’nin belirttiği düzlemin noktaları,

    {A + s ⋅ d + t ⋅ e : (s, t) ∈ K2}

    kümesini oluşturur.

Şimdi orijini O olan bir koordinatlar sistemi verilsin, ve

O + a = A ∧ O + b = B ∧ O + c = C

olsun. O zaman

d = b − a ∧ e = c − a,

dolayısıyla

  • AB doğrusunun noktaları,

    {O + (1 − s) ⋅ a + s ⋅ b : s ∈ K}

    kümesini oluşturur;

  • A, B, ve C’nin belirttiği düzlemin noktaları,

    {O + (1 − s − t) ⋅ a + s ⋅ b + t ⋅ c : (s, t) ∈ K2}

    kümesini oluşturur.

Teorem. Bir koordinatlar sistemi verildiğinde, uzayın düzlemleri, a, b, ve c katsayısının en az birinin 0 olmadığı

ax + by + cz = d

denklemleri tarafından tanımlanan kümelerdir.

Kanıt. Verilen denklem bütün uzayı tanımlamaz, ama eğer iki noktanın koordinatları denklemi sağlarsa, o zaman noktanın belirttiği doğrunun her noktasının koordinatları sağlar. Zira eğer (x, y, z) ve (x′, y′, z′), verilen denklemi sağlarsa, o zaman herhangi

(1 − s) ⋅ (x, y, z) + s ⋅ (x′, y′, z′)

doğrusal bileşimi de sağlar. ∎

Eğer e ≠ 0 ise, o zaman denklem (3.2) ve

aex + bey + cez = de,

aynı düzlemi tanımlar. Herhangi f oranı için denklem (3.2) ve

ax + by + cz = f,

paralel düzlemleri tanımlar.

Bir doğru iki düzlemin kesişimi olduğundan doğruyu tanımlamak için iki denklem gerekiyor.

Koordinatları (a1, a2, a3), (b1, b2, b3), ve (c1, c2, c3) olan, aynı doğruda olmayan noktaların belirttiği düzlemi tanımlayan bir denklemin katsayılarını bulmak için,

a1x + a2y + a3z = w,

b1x + b2y + b3z = w,

c1x + c2y + c3z = w

denklemlerini çözmek yeter. Bunların yerine

a1x + a2y + a3z = w,

(b1 − a1)x + (b2 − a2)y + (b3 − a3)z = 0,

(c1 − a1)x + (c2 − a2)y + (c3 − a3)z = 0

çözülebilir. Şimdi K3 uzayında nokta çarpım,

(a, b, c) ⋅ (x, y, z) = ax + by + cz

eşitliği tarafından tanımlansın. O zaman

(a1, a2, a3) ⋅ (x, y, z) = w,

(b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3) ⋅ (x, y, z) = 0,

(c1 − a1, c2 − a2, c3 − a3) ⋅ (x, y, z) = 0,

denklemlerini çözmek isteriz. Son iki denklem için aşikar olmayan bir çözüm bulmak yeter. Bunu yapmak için K3 uzayında çapraz çarpım,

(a, b, c) × (x, y, z) = (bz − cy, cx − az, ay − bx)

eşitliği tarafından tanımlansın. Şimdi K3 uzayının herhangi (a1, a2, a3) elemanı, kısaca

a

olarak yazılsın.

Teorem. K3 uzayında herhangi a ve b için

(a × b) ⋅ a = 0 ∧ (a × b) ⋅ b = 0.

Kanıt. Alıştırma. ∎

Teorem. Koordinatları a, b, ve c olan, aynı doğruda olmayan noktaların belirttiği düzlem

((b − a) × (c − a)) ⋅ ((x, y, z) − a) = 0

denklemi tarafından tanımlanır.

Kanıt. Alıştırma. ∎

Alıştırma. Koordinatları a, b, ve c olan noktaların aynı doğruda olması için

(b − a) × (c − a) = (0, 0, 0)

koşulunun gerek ve yeter olduğunu gösterin.

Alıştırma. Üç noktanın koordinatlarını yazarak kendi alıştırmalarınızı yaratın: o üç nokta bir düzlem belirtirse denklemi nedir? Örneğin koordinatları

(5, 2, −3), (1, 0, 1), (6, −1, 0)

olan noktaların düzleminin denklemi,

3x + 15y + 14z = 3

olur, ama

(5, 2, −3), (1, 0, 1), (3, 1, −1)

noktaları bir düzlem belirtmez.

%d bloggers like this: