Geometriler

Mimar Sinan’da geometriler dersi, 2025–26 güz dönemi

Öğretim üyesi: David Pierce

Yatay bir doğrudan beş doğru keser. Bu beş doğrudan birinci, ikinci, ve dördüncü doğru bir nokta paylaşır, ve bu nokta, sola sağa taşınır. Birinci doğruda, üçüncü ve beşinci doğru bir nokta paylaşır. İkinci ve üçüncü doğrunun kesişim noktasından geçen ve dördündü ve beşinci doğrunun kesişim noktasıdan geçen doğru, her zaman ilk verilen noktayı aynı doğruda keser.

Pappus Dörtgen Teoremi

ΧΑΛΕΠΑ ΤΑ ΚΑΛΑ (“Zordurlar güzeller”)

ἴσως γάρ, ὦ Σώκρατες, τὸ λεγόμενον ἀληθές, ὅτι χαλεπὰ τὰ καλά
“Kim bilir, Sokrates, güzel iş güçtür diyen atasözü belki
doğrudur”
—Platon, Devlet IV, 534c, çevirenler Azra Erhat ve Türkân
Tunga

Geometriler dersimizde iki kaynaktan iki geometriyi
inceleyeceğiz:

  1. İskenderiyeli Pappus’tan projektif geometri (“izdüşüm
    geometrisi”);
  2. Nikolay Lobaçevski’den hiperbolik geometri.

Aşağıdaki metinlere bakın.

Öklid geometrisine giriş dersindeki gibi herkes, dönemde en az iki
kere, tahtaya gidip önermeler kanıtlayacak. Önermeler öğrenilmeli;
notlar kullanılamaz. Prova yapmanızı tavsiye ediyorum.

Herkesin derse gelmesi zorunludur. (Resmi kural uygulanacak: final
sınavına girmek için dersin %70’ine, yani dokuz haftasına,
girilmeli.)

Derste cep telefonları kullanılmaz. Bir metne bakmak isterseniz,
lütfen onu bastırıp getirin.

Yatay bir doğrudan beş doğru keser. Bu beş doğrudan birinci, ikinci, ve dördüncü doğru bir nokta paylaşır. Birinci doğruda, üçüncü ve beşinci doğru bir nokta paylaşır, ve bu nokta, birinci doğrunun uç noktalarının arasından taşınır. İkinci ve üçüncü doğrunun kesişim noktasından geçen ve dördündü ve beşinci doğrunun kesişim noktasıdan geçen doğru, her zaman ilk verilen noktayı aynı doğruda keser.

Pappus Dörtgen Teoremi

Pappus yorumu

Hiperbolik geometri

Hiperbolik bir düzlemde Öklid’in ilk 4 postulatı ve ilk 28 önermesi
doğrudur. Beşinci postulatın yerine her dik ABC açısı için,
öyle AD ışını vardır ki BAD, dik bir açıdan küçüktür,
ve ayrıca her AE ışını için

  • BAE < BAD ise AE, BC’yi
    keser;
  • BAE > BAD ise AE, BC’yi
    kesmez.

O zaman AE ışını, A noktasından, BC
ışınına paraleldir. Eğer

  • AB’nin uzunluğu p,
  • BAD açısınin ölçüsü α

ise, o zaman

Π(p) = α

yazarız. Bu postulat ve tanım, Lobaçevski’nin 16. ve 22. “teoreminde”
açıklanır. Lobaçevski’nin postulatı ile düzlemde kesişmeyen ama paralel
olmayan doğrular vardır. Aşağıdaki önermeler derste tahtada
açıklansın:

Lobaçevski 17.

Bir paralel, her noktasından paraleldir.

Lobaçevski 18.

Paralellik simetriktir.

Lobaçevski 19.

Bir üçgenin açılarının toplamı, iki dik açıdan büyük olamaz.

Lobaçevski 20.

Eğer bir durumda bir üçgenin açılarının toplamı, iki dik açıya eşit
ise, o zaman her durumda bu toplam iki dik açıya eşittir.

Lobaçevski 21.

ABC açısı dik olduğunda, her pozitif α için
BC’de öyle E noktası vardır ki AEB <
α.

Lobaçevski 22.

Eğer bir durumda Π(p) = π/2 ise, o zaman her durumda
olur.

Lobaçevski 23.

Eğer 0 < α < π ise, o zaman öyle bir p
uzunluğu vardır ki Π(p) = α.

Lobaçevski 24.

Paraleller birbirine yaklaşır.

Lobaçevski 25.

Paralellik geçişlidir, dolayısıyla bir denklik bağıntısıdır (sadece
düzlemde kanıtlayalım).

Sonsuz KAK.

Hilbert’in tanımına göre bir paralellik sınıfı bir
uçtur. Şimdi γ ve ζ uç olduğunda,
eğer

  • ABγ = DEζ (açı olarak),
  • AB = DE

ise, o zaman BAγ = EDζ.

Hilbert Lemma 1.

Bir doğru ile eşit açılar yapan doğrular paralel değildir.

Sonsuz AAK.

Eğer

  • ABγ = DEζ,
  • BAγ = EDζ.

ise, o zaman AB = CD.

Hilber Lemma 2.

Ne kesişen ne paralel olan doğruların ortak dikmesi vardır.

Hilbert Lemma 3.

Eğer α ve β birbirinden farklı uç ise, o zaman
uçları α ve β olan bir doğru vardır.

Süreklilik.

Doğrunun sürekliliğini kullanmadan 0 < α < π ise, öyle
bir p vardır ki Π(p) = α.

Lobaçevski 29.

Bir üçgenin iki kenarının orta dikmelerinin kesişim noktası varsa, o
zaman üçüncü kenarın orta dikmesi bu noktadan geçer.

Lobaçevski 30.

Bir üçgenin iki kenarının orta dikmeleri paralel ise, o zaman üçüncü
kenarın orta dikmesi onlara paraleldir.

Lobaçevski 31.

Kirişlerin orta dikmelerinin paralel olduğu eğri vardır. Bu eğriye
sınır çemberi (horocycle) denir.

Lobaçevski 32.

Sınır çemberi, çemberlerin bir limitidir.

Lobaçevski 33.

Bir e için, AA′ ve BB′ kenarlarının doğru olduğu,
AB ve A′B′ kenarlarının sınır çemberlerinin
yayları olduğu rasgele AA′B′B
dikdörtgeninde

|AA′| = |BB′| = x,

|AB| > |A′B′|

olduğunda

|AB| = |A′B′| ⋅
ex.

Lobaçevski 36.

tan(Π(x)/2) = e−x.

Metinler

İki A5 sayfayı, bir A4 sayfaya bastırabilirsiniz. Bu durumda,
özellikle Pappus için, her kitaptaki gibi, çift numaralı sayfalar solda
olmalı.

İki A5 sayfada Pappus’un Lemma VIII’i. Sayfa numaraları 32 ve 33.
Helezon ciltlemeyi severim! Çift numaralı sayfalar solda olduğunda
Pappus’un lemmalarının her biri, sayfa çevrilmeden okunabilir

Lobaçevski’nin bir diyagramı

Son güncelleme: 4 Aralık 2025