Geometriler dersi anasayfası

Bu sayfanın son güncelleme tarihi 31 Ekim 2025

Geometriler dersinin ilk yarısında, İskenderiyeli Pappus’un yazdığı (ve benim Eski Yunanca’dan çevirdiğim) Öklid’in Porizmalar’ı için Derleme’nin VII. Kitabının 38 Lemmasından İlk 19 Lemma’yı okuyoruz. Lemma

• I, II, IV, V, VI, ve VII’de Tam Dörtgen Teoremi;

• III, X, XI, XIV, XVI, XVIII, ve XIX’da çapraz oranların değişmezliği;

• VIII, XII, XIII, XV, ve XVII’de Pappus Altıgen Teoremi

kanıtlanır. Tam Dörtgen Teoremi’ne ayrıca Desargues İnvolüsyon Teoremi denir. Çapraz oranlar

• Tam Dörtgen Teoremi’nde gözükür,

• Pappus Altıgen Teoremi’ni kanıtlamak için kullanılır.

Bu notlarda kendi diyagramlarınızı çizmenizi istiyorum. İnceleyeceğimiz teoremlerde açılar ve aynı doğruda olan noktaların sırası önemli değildir. Doğru parçalarının eşitliği bile önemli değildir, ama onların oranları, ve oranların aynılığı, önemlidir.

Bazı tarihler

M.Ö. 585

Miletli Thales’in önceden bildirdiği güneş tutulması

300

Öklid çalışıyordu

M.S. 320

Pappus çalışıyordu

1588

Federico Commandino’nun hazırladığı Derleme’nin Latince çevirisi basıldı

1637

René Descartes’ın yazdığı Geometri

1639

Girard Desargues’ın yazdığı Konikler Hakkında Taslak

1860

Michel Chasles’ın yazdığı Öklid’in Porizmalar’ının Üç Kitabı

1864

Poudra’nın hazırladığı Desargues’ın eserleri edisyonu

1876–7

Friedrich Hultsch’un hazırladığı Derleme edisyonu

1933

Paul Ver Eecke’in hazırladığı Derleme’nin Fransızca çevirisi

1951

Taton’un hazırladığı Desargues’in eserleri edisyonu

1986

Alexander Jones’un hazırladığı Derleme’nin Kitap VII’si edisyonu, İngilizce çevirisi, ve yorumu

Thales, Menelaus, Lemma III

Dediğim gibi doğru parçalarının oranları ve oranların aynılığı önemlidir. İki oranın aynılığı, bir orantıdır. Kitabımızda, orantıların Öklid’in verdiği tanımını sayfa 19–23’te inceledim. Kullanacağımız sonuçları sayfa 12–17’de verdim. Onlara burada tekrar bakalım.

• Bir ABC üçgeninin AB kenarında bir D noktası otursun, yani

  D ∈ AB

  olsun.

• Ayrıca

  E ∈ AC

  olsun.

Dediğim gibi, lütfen kendi şeklinizi çizin. Orada örneğin D noktası A ile B arasında olmayabilir. Öklid’in Öğeler’in VI. kitabında gösterdiği gibi aşağıdaki koşullar denktir:

1. DE, BC tabanına paraleldir, yani

   DE ∥ BC.

2. AD’nin DB’ye oranı, AE’nin EC’ye oranı ile aynıdır, yani

   AD : DB : :AE : EC

   orantısı doğrudur.

Bu sonuca bugün Thales Teoremi denir. Verilen orantı aşağıdakilere denktir:

Ayrıca ilk verilen orantıyı

biçiminde yazabiliriz.

Şimdi tekrar bir ABC üçgeninde

olsun. O zaman

Bu sonuç, Thales Teoremının başka bir biçimidir.

Tekrar ABC üçgeninde

olsun, ve B’den geçen, AC’ye paralel olan doğru DE’yi H noktasında kessin. O zaman Thales Teoremi’ne göre

Ayrıca F, BC’de oturan bir nokta olduğunda,

O zaman

Bu sonuç, Menelaus Teoremi’dir.

Şimdi F ∈ DE olsun. Şeklimizde üç doğru, B’den geçer, ve bu doğruları, E’den geçen bir doğru D, H, ve F’de keser. E’den geçen ve BH’ye paralel olan doğru, BF tarafından C’de, BD tarafından A’da kesilir. Yukarıdaki

orantısı AE : EC oranının tersi için çözüldüğünde

Burada CE : EA oranı, E’den geçen ve verilmiş üç doğruyu kesen doğrunun açısından bağımsızdır. O zaman E’den geçen başka bir doğru BD’yi, BH’yi, ve BF’yi, sırasıyla K, L, ve M noktalarında keserse, o zaman

Bu sonuç, Pappus’un Lemma III’üdür.

Çapraz Oran

Eğer A, B, C, ve D aynı doğruda ise, o zaman tanım olarak

olsun. Buradaki (A,B;C,D) ifadesinin noktalı virgülünü farkedin. Verilen oran, A, B, C, ve D’nin çapraz oranıdır. Başka bir şekilde

Örneğin Lemma III’ün sonuçu

Şimdi kısaca

olsun. O zaman

ama aynı zamanda

dolayısıyla

Ayrıca

çünkü (kısaca)

(ayrıntıları size bırakıyorum).

Elemanları 1, 2, 3, ve 4 olan kümenin permütasyonları, S₄ grubunu oluşturur, ve bu grup, mertebesi iki olan (1 2), (2 3), ve (3 4) elemanları tarafından üretilir. Sonuç olarak, eğer A, B, C, ve D’nin sırasını değiştirirsek, o zaman çapraz oranı sadece λ’dan ve kullandığımız permütasyondan hesaplayabiliriz.

Şimdi

olsun. O zaman f ve g, elemanları oranlar olan kümenin permütasyonlarıdır. Burada 0 ve ∞, oran olarak sayılır; ayrıca

Kontrol edebildiğiniz gibi

ama aynı zamanda

O zaman üreteçleri f ve g olan grup, 6 elemanlı S₃ grubu ile izomorftur.

Sonuç olarak 24/6 = 4 olduğunda (A,B,C,D) listesinin 4 permütasyonu altında λ’nın değeri değişmez. Aslında aşağıdakiler birbirine eşittir.

Desargues, Lemma I ve II

Şimdilik sadece Öklid’in Öğeler’inin Kitap I’inin önermelerini kullanacağız. Tekrar ABC bir üçgen olsun, ve bir AD doğrusu, ne B’yi ne C’yi icersin ve BC’ye paralel olmasın. Ayrıca

olsun. O zaman (Önerme 33 sayesinde) ABED bir paralelkenardır, ve (Önerme 34 sayesinde)

Aynı diyagramda

olsun. O zaman (Önerme 4, 26, 28–30, 33, ve 34 sayesinde) aşağıdaki koşullar birbirine denktir (alıştırma olarak bunu gösterebilirsiniz).

Bu sonuç, Desargues Teoremi’nin paralelkenar durumu olsun. (Burada Desargues Teoremi, Desargues İnvolüsyon Teoremi değildir.)

Şimdi Thales Teoremi’ni tekrar kullanmaya başlayacağız. Yeni bir diyagramda tekrar ABC bir üçgen olsun, ve AD ne B’yi ne C’yi icersin ve BC’ye paralel olmasın, ve

olsun, ama şimdi AD ve BE, bir O noktasında kesişsin. O zaman Thales Teoremi sayesinde

Eğer

ise, o zaman

Tersine BC ∥ EF ise, o zaman O ∈ CF. Bunu, olmayana ergi yöntem ile kanıtlayabilirsiniz. Direkt bir kanıt için Thales Teoremi’ni ve Desargues Teoremi’nin paralelkenar durumunu kullanabilirsiniz. Bunun için DA’ya paralel olan,

• E’den geçen doğru AB’yi H’de,

• F’den geçen doğru AC’yi K’de

kessin. Buradaki

sonuçu, Desargues Teoremi’nin yamuk durumunudur. (Desargues Teoremi’nin kanıtladığımız durumlarının paralelkenar ve yamuk adları, benimdir.)

Şimdi HJKL bir dörtgen olsun. Tam bir dörtgen olarak bunun altı kenarı vardır, ve her birini, doğru olarak, diğerlerden farklı olsun. Yedinci bir doğrunun KL’ye paralel olması için gerek ve yeter koşullar kuracağız. Aynı zamanda yedinci doğrunun bir O noktası için, HJ’nin O’dan geçmesi için gerek ve yeter koşullar kuracağız. Bunların için, yedinci doğruyu

• HK, B’de;

• JK, C’de;

• HL, D’de;

• JL, E’de

kessin. Ayrıca B’den geçen, JK’ye paralel olan doğru OJ’yi M’de kessin. O zaman BDM ve KLJ üçgenleri, Desargues Teoremi’ndeki gibidir. Bu teorem sayesinde aşağıdaki üç koşulun her biri, diğerlerden elde edilebilir:

Pappus’un Lemma I’i, birinci koşulun çıkması; Lemma II’yi, ikinci koşulun çıkmasıdır. Belki Öklid’in porizmalarının biri, üçüncü koşulun çıkmasıdır. Bu porizma, Lemma I’in tersi olarak sayılabilir. Bunun sayesinde, bir doğruda B, C, D, ve E noktalarının verildiğinde, yukarıdaki orantıyı sağlayan bir O noktasını inşa edebiliriz.

Lemma IV

Tekrar HJKL bir dörtgen olsun. Kenarlarından farklı olan bir doğruyu

• JH, A’da;

• HK, B’de;

• JK, C’de;

• HL, D’de;

• JL, E’de

kessin, ve F de bu doğruda olan bir nokta olsun. O zaman aşağıdaki koşullar denktir:

Son koşulu,

biçimine koyabiliriz. Lemma IV’e göre bu koşuldan

koşulu çıkar. Lemma IV’ün tersi de doğrudur, ve belki Öklid bunu kanıtladı. Son iki koşulun denkliğini göstereceğiz.

Son orantıdan AF’yi çıkararak

orantısını elde ederiz (tekrar ayrıntıları size bırakıyorum). Aynı zamanda Menelaus Teoremi sayesinde

orantısı, F’nin KL doğrusunda olması ile denktir. Ayrıca

orantısı, her zaman doğrudur. Bunu göstermek için J’den geçen, AE’ye paralel olan doğru HK’yi M’de, HL’yi N’de kessin.

İnvolüsyon

Aynı doğruda A, B, C, D, E, F, ve O noktaları

eşitliklerini sağlasın. O zaman

Bundan dolayı

Sonuç olarak,

olduğundan,

Bu durumda Desargues’ın tanımına göre, {A, F}, {B, E}, ve {C, D} çiftleri involüsyondadır. Son orantı, önceki bölümde gördüğümüz

orantısı ile denktir.

Tersine, aynı doğruda olan A, B, C, D, ve E verildiğinde, bu doğruda, Lemma I’in tersini kullanarak, öyle bir O noktasını bulabiliriz ki

Ondan sonra, öyle bir F noktasını bulabiliriz ki

(Öğeler’in Kitap VI’sında Öklid, Önerme 12 ve 16’da bunu yapar.) O zaman son gördüğümüz orantı çıkar. Orada C ve E noktaları ve CF : EF oranı, F noktasını bilirler. Sonuç olarak orantı, O noktasını belirler.

{A, F}, {B, E}, ve {C, D} çiftlerinde, noktaların sırası önemli değildir. Örneğin

eşitliklerinden

dolayısıyla

Aynı doğruda olan A, B, C, D, E verildiğinde, son orantıyı sağlayan F noktasını bulmak için,

• A’dan geçen ikinci bir doğruda P ve Q seçilsin;

• BP ve QD, R’de kesişsin; ve

• CP ve QE, S’de kesişsin.

O zaman (gösterebildiğiniz gibi) Lemma IV’ün tersi sayesinde, istenen F noktası RS’dedir.

Lemma IV için verdiğimiz kanıtın yerine, aşağıdaki kanıt mümkündür. RS, AP doğrusunu T noktasında kessin. O zaman Lemma III sayesinde,

ve

dolayısıyla