Polytropy

Mimar Sinan’da geometriler dersi, 2021–22 bahar dönemi

Öğretim üyesi: David Pierce

Geometriler Finali Hakkında (9 Haziran 2022; 16 sayfa, boyu A5)

İlk 8 hafta Dönem için yoklama (kontrol edebilirsiniz). Oradaki Lobaçevski önermeleri, aşağıdaki listede açıklanır.

Geometriler dersimizde iki kaynaktan iki geometriyi inceleyeceğiz:

1. İskenderiyeli Pappus’tan projektif geometri (“izdüşüm geometrisi”);
2. Nikolay Lobaçevski’den hiperbolik geometri.

Öklid geometrisine giriş dersindeki gibi herkes, dönemde en az iki kere, tahtaya gidip önermeler kanıtlayacak. Önermeler öğrenilmeli; notlar kullanılamaz. Prova yapmanızı tavsiye ediyorum.

Herkesin derse gelmesi zorunludur. (Resmi kural uygulanacak: final sınavına girmek için dersin %70’ine, yani dokuz haftasına, girilmeli.)

Derste cep telefonları kullanılmaz. Bir metne bakmak isterseniz, lütfen onu bastırıp getirin.

Pappus yorumu

Hiperbolik geometri

Hiperbolik bir düzlemde Öklid’in ilk 4 postulatı ve ilk 28 önermesi doğrudur. Beşinci postulatın yerine her dik ABC açısı için, öyle AD ışını vardır ki BAD, dik bir açıdan küçüktür, ve ayrıca her AE ışını için

• BAE < BAD ise AE, BC’yi keser;
• BAE > BAD ise AE, BC’yi kesmez.

O zaman AE ışını, A noktasından, BC ışınına paraleldir. Eğer

• AB’nin uzunluğu p,
• BAD açısınin ölçüsü α

ise, o zaman

yazarız. Bu postulat ve tanım, Lobaçevski’nin 16. ve 22. “teoreminde” açıklanır. Lobaçevski’nin postulatı ile düzlemde kesişmeyen ama paralel olmayan doğrular vardır. Aşağıdaki önermeler derste tahtada açıklansın:

Lobaçevski 17.

Bir paralel, her noktasından paraleldir.

Lobaçevski 18.

Paralellik simetriktir.

Lobaçevski 19.

Bir üçgenin açılarının toplamı, iki dik açıdan büyük olamaz.

Lobaçevski 20.

Eğer bir durumda bir üçgenin açılarının toplamı, iki dik açıya eşit ise, o zaman her durumda bu toplam iki dik açıya eşittir.

Lobaçevski 21.

ABC açısı dik olduğunda, her pozitif α için BC’de öyle E noktası vardır ki AEB < α.

Lobaçevski 22.

Eğer bir durumda Π(p) = π/2 ise, o zaman her durumda olur.

Lobaçevski 23.

Eğer 0 < α < π ise, o zaman öyle bir p uzunluğu vardır ki Π(p) = α.

Lobaçevski 24.

Paraleller birbirine yaklaşır.

Lobaçevski 25.

Paralellik geçişlidir, dolayısıyla bir denklik bağıntısıdır (sadece düzlemde kanıtlayalım).

Sonsuz KAK.

Hilbert’in tanımına göre bir paralellik sınıfı bir uçtur. Şimdi γ ve ζ uç olduğunda, eğer

• ABγ = DEζ (açı olarak),
• AB = CD

ise, o zaman BAγ = EDζ.

Sonsuz AAK.

Eğer

• ABγ = DEζ,
• BAγ = EDζ.

ise, o zaman AB = CD.

Hilbert Lemma 1.

Bir doğru ile eşit açılar yapan doğrular paralel değildir.

Hilber Lemma 2.

Ne kesişen ne paralel olan doğruların ortak dikmesi vardır.

Hilbert Lemma 3.

Eğer α ve β birbirinden farklı uç ise, o zaman uçları α ve β olan bir doğru vardır.

Süreklilik.

Doğrunun sürekliliğini kullanmadan 0 < α < π ise, öyle bir p vardır ki Π(p) = α.

Lobaçevski 29.

Bir üçgenin iki kenarının orta dikmelerinin kesişim noktası varsa, o zaman üçüncü kenarın orta dikmesi bu noktadan geçer.

Lobaçevski 30.

Bir üçgenin iki kenarının orta dikmeleri paralel ise, o zaman üçüncü kenarın orta dikmesi onlara paraleldir.

Lobaçevski 31.

Kirişlerin orta dikmelerinin paralel olduğu eğri vardır. Bu eğriye sınır çemberi (horocycle) denir.

Lobaçevski 32.

Sınır çemberi, çemberlerin bir limitidir.

Lobaçevski 33.

Bir e için, AA′ ve BB′ kenarlarının doğru olduğu, AB ve A′B′ kenarlarının sınır çemberlerinin yayları olduğu rasgele AA′B′B dikdörtgeninde

|AA′| = |BB′| = x,

|AB| > |A′B′|

olduğunda

|AB| = |A′B′| ⋅ e^x.

Lobaçevski 36.

tan(Π(x)/2) = e^−x.

Metinler

İki A5 sayfayı, bir A4 sayfaya bastırabilirsiniz. Bu durumda, özellikle Pappus için, her kitaptaki gibi, çift numaralı sayfalar solda olmalı.

• Pappus, “Öklid’in Porizmalar’ı için Derleme’nin VII. Kitabının 38 Lemmasından İlk 19 Lemma” (13 Mart 2022 versiyonu). 104 sayfa, boyu A5.

• Pappus için 15 ek önermeler, 12 sayfa, boyu A5. (Eskisi, 12 sayfa, boyu A5.)

• Lobachevski, Geometrical Researches on the Theory of Parallels (Rusça orijinalinden İngilizce çevirisi; Türkçesini bulursanız lütfen bana haber verin.) 47 sayfa, boyu A5.

• Hilbert, “A New Development of Bolyai-Lobachevskian Geometry,” 22 sayfa, boyu A5.

• “Soyut ve Somut Düzlemler” (Öklid, Pappus, Descartes, ve Lobaçevski düzlemleri hakkında), 14 sayfa, boyu A5, 15 Mayıs 2022.

Son güncelleme: 19 Haziran 2022