Polytropy

2019–20 yılınki Aksiyomatik Kümeler Kuramı dersi için.

1. Bir F ordinal işlemi için, eğer her α için,

   β < F(α) < γ

   koşulunu sağlayan her β ve γ için,

   δ < α < ζ

   koşulunu sağlayan bazi δ ve ζ için, her ξ için

   δ < ξ < ζ ⟹ β < F(ξ) < γ

   ise, o zaman tanima göre F süreklidir. F kesin artan olmak üzere F’nin sürekli olmasinin gerek ve yeter bir koşulunun, her α limiti için

   F(α)=sup F[α]

   denkleminin doğru olmasi olduğunu gösterin.

2. Örnekler varsa, birini verin; yoksa olmadiğini kanitlayin.

   1. Küme olmayan bir sinif.

   2. Sinif olmayan bir küme.

   3. Kendisini içermeyen bir küme.

   4. Kendisini kapsamayan bir küme.

   5. Ordinal olmayan, ∈ tarafindan iyisiralanan bir küme.

   6. Ordinal olmayan, boş olmayan, geçişli bir küme.

   7. Elemanlari ordinal olan, en küçük elemani 1 olan bir küme.

   8. Ordinal olan, en küçük elemani 1 olan bir küme.

   9. Elemanlari ordinal olan, en küçük elemani olmayan bir küme.

   10. Kesin artan, normal olmayan bir ordinaller işlemi.

   11. Sürekli olan, kesin artmayan bir ordinaller işlemi.

   12. Kesin azalan bir ordinaller işlemi.

   13. Sayilamaz bir küme.

   14. Küme olmayan, sayilabilir bir sinif.

3. Aşağidaki bir ordinaller eşitliği her durumda doğru ise eşitliği kanitlayin; değilse bir karşit örnek verin.

   1. α + 0 = α.

   2. 0 + α = α.

   3. α + (β + γ)=(α + β)+γ.

   4. α + β = β + α.

   5. α ⋅ 1 = α.

   6. 1 ⋅ α = α.

   7. 2 ⋅ α = α + α.

   8. α + β ⋅ γ = (α + β)⋅γ.

   9. α ⋅ (β ⋅ γ)=(α ⋅ β)⋅γ.

   10. α ⋅ β = β ⋅ α.

   11. α ⋅ (β + γ)=α ⋅ β + α ⋅ γ.

   12. (α + β)⋅γ = α ⋅ γ + β ⋅ γ.

   13. (α + β)² = α² + 2 ⋅ α ⋅ β + β².

   14. (α + β)² = α² + α ⋅ β + β ⋅ α + β².

4. Cantor normal biçimleri bulun:

   1. 1 + ω + ω² + ω³.

   2. 1 + ω² + ω + ω³.

   3. 1 + ω³ + ω + ω².

   4. ω³ + ω + ω² + 1.

   5. 3 ⋅ (ω+4).

   6. (ω+4)⋅3.

   7. (ω² + 3)⋅(ω + 4).

   8. (ω+4)⋅(ω² + 3).

   9. (ω² ⋅ 5 + 3)⋅(ω + 4).

   10. (ω+4)⋅(ω² ⋅ 5 + 3).

5. Cantor normal biçimleri bulun:

   1. ω^{ωω ⋅ 2 + ω17} ⋅ 5 + ω^ω5 ⋅ 14 + ω^{ωω + ω17} ⋅ 6 + ω + 317

   2. (ω² ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5)⋅(ω^ω ⋅ 3 ⋅ 16 + ω² ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)

   3. (ω^ω ⋅ 2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5)⋅(ω^ω ⋅ 3 ⋅ 16 + ω² ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)

   4. (ω^ω ⋅ 2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5)⋅(ω^ω3 ⋅ 16 + ω² ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)

   5. (ω+5)²

   6. 9^ω + 2

   7. (ω+5)^ω + 2

   8. (ω^ω)^ωω

   9. (ω^ωω)^ωω

   10. 6^ω1330

6. Çözün:

   1. ξ + ω² + η = 15 + ω² + 16

   2. ξ ⋅ ω + η ⋅ ω = (ξ + η)⋅ω

7. Çözün.

   1. ℵ₁ ⊕ ℵ_ξ = ℵ₃

   2. ℵ_ξ ⊗ ℵ_ω = ℵ_ω

   3. (ℵ_ω ⊕ ℵ_ω²)⊗ℵ_ω ⋅ 3 = ℵ_ξ

   4. (ℵ_α)^ℵ_α = 2^ℵ_ξ

   5. kard(℘(ℵ_ξ))=2^{ℵ_ω + 1}

   6. kard(ω^ωω + ω^ω + ω + 75)=ℵ_ξ

8. Her kümenin kardinali, ℵ_α veya ℶ_α biçiminde yazin.

   1. Sayilabilir ordinallerin oluşturduğu küme

   2. ℝ’nin sonlu altkümelerinin oluşturduğu küme

   3. ℝ’nin sayilabilir altkümelerinin oluşturduğu küme

   4. ℝ’nin sayilamaz altkümelerinin oluşturduğu küme

   5. sup{ℵ₀, ℵ₀^ℵ₀, ℵ₀^ℵ₀ℵ₀, ℵ₀^{ℵ₀ℵ₀ℵ₀}, …}

   6. sup {ω,ω^ω,ω^ωω,…}

   7. ℵ₃ ⊕ ℵ₅

   8. ℵ₅ ⊗ ℵ₃

   9. ℵ_2 ⋅ ω ⊕ ℵ_ω ⋅ 2

   10. (ℵ₂ ⊕ ℵ₃)⊗(ℵ_ω ⊕ ℵ₁₆)

   11. ℵ_ω ⊕ ℵ_ω^ω

   12. ℵ_ω^ω ⊗ ℵ_ω

   13. ℘(ℝ)

   14. ^ωℝ

   15. (ℵ₀)^ℵ₀

   16. (ℶ₀)^ℶ₀

   17. (ℶ₁)^ℶ₁

   18. (ℵ₁)^ℶ₁

   19. (ℵ_{ω² ⋅ 3 + ω})^ℶ_ωω

   20. (ℶ_ω + 1)^ℶ_ω

   21. ℘(ℶ_ω)