Polytropy

Ders ev sayfası

Giriş

Kümeler kuramı, Öklid’in geometrisi gibidir:

• Öğeler’de ortak kavramları kullanarak postulatlardan diğer önermeleri kanıtlarız.

• Kümeler kuramında ise mantığın kurallarını kullanarak aksiyomlardan diğer teoremleri kanıtlarız.

Kümeler kuramında her küme bir sınıftır; aslında her a kümesi, {x: x ∈ a} sınıfıdır. Bazı sınıflar küme değildir; örneğin {x: x ∉ x} sınıfı bir küme olamaz. Aksiyomlara göre bazı sınıflar kümedir. Boş sınıf hariç her sınıfın elemanı veya elemanları vardır, ve bunların hepsi bir kümedir.

Aşağıdaki özetin verdiğinden daha fazla ayrıntı görmek istiyorsanız, ders kitabına bakın veya bana sorun! Ya matematikte ya da Türkçe’de hatalar görürseniz, benimle haberleşin.

Aşağıdaki ve kitaptaki numaralar farklıdır:

İçerik

• Formüller, Cümleler, ve Doğruluk
• Sağlama ve Sınıflar
• Kümeler
• Doğal Sayılar

Formüller, Cümleler, ve Doğruluk

Biçimsel bir dil tanımlayacağız, ve kümeler kuramının her teoremi, dilimizin bir cümlesi olacak. Bir cümle, serbest değişkeni olmayan bir formül olacak.

Resmi dilimizde sabitler ve değişkenler vardır, ve her biri bir terimdir.

• Bir sabit, bir kümenin adıdır.
• Bir değişken, bir zamir gibidir.

Formüllerin örneklerini yazarken

• sabit olarak a, b, c, A, B, C, 𝒜, ℬ, 𝒞, α, β, γ gibi harfler;

• değişken olarak x, y, z, X, Y, Z, ξ, η, ζ gibi harfler;

• terim olarak s, t, u gibi harfler

kullanacağız. Dikkat edin: A, B, C gibi siyah harfler, terim değildir. Yunan harflerini sadece ordinaller için kullanacağız; bir ordinal, çok özel bir kümedir.

Formüllerimizi, terimlerden ve başka simgelerden oluşturuz. Formüllerin örnekleri olarak φ, ψ, ve χ gibi harflerini kullanacağız. Formüllerin dört çeşidi vardır ve bunların aşağıdaki resmi tanımı özyinelidir.

1. t ∈ s bir içermedir.

2. ¬φ bir değillemedir, ve tek bileşeni φ olur.

3. (φ ∧ ψ) bir tümel evetlemedir, ve bileşenleri φ ve ψ olur.

4. ∃x φ bir örneklemedir, ve tek bileşeni φ formülüdür.

Bir içerme, bölünemez bir formüldür; diğer formüller, bileşiktir.

Formüllerin tanımı özyineli olduğundan formüllerin bazı özellikleri tümevarım ile gösterilebilir. İlk teorem bir örnektir.

Teorem 1. Her formül için eğer en az bir simge

• ya formülün sonuna eklenirse
• ya da formülün sonundan çıkarılırsa,

o zaman kalan simgelerin bir formül oluşturmadığını gösterebiliriz.

Kanıt.

1. İçermeler iddia doğrudur.
2. İddia bir formül için doğru ise onun değillemesi için de doğrudur.
3. İddia iki formül için doğru ise onların tümel evetlemesi için de doğrudur.
4. İddia bir formül için doğru ise onun her örneklemesi için de doğrudur. ∎

Teorem 2. Her formül tek bir şekilde bir formül olur. ∎

Teoremden dolayı değişkenlerin serbest geçişlerinin tanımı özyineli olabilir:

1. Bir içermede bir değişkenin her geçişi, serbesttir.
2. Bir değillemenin bileşeninde bir değişkenin her serbest geçişi, değillemenin kendisinde serbesttir.
3. Bir tümel evetlemenin bir bileşeninde bir değişkenin her serbest geçişi, tümel evetlemenin kendisinde serbesttir.
4. Bir ∃x φ örneklemesinde
   • x’ten farklı olan bir değişkenin φ’deki her serbest geçişi serbesttir;
   • x’in hiç serbest geçişi yoktur.

Bir değişkenin serbest olmayan geçişi bağlıdır. Bir formülde bir değişkenin serbest geçişi varsa, bu değişken, formülün bir serbest değişkenidir. Serbest değişkeni olmayan bir formül, bir cümledir. Cümleler için σ ve τ gibi harfler kullanılacak.

φ’nin tek serbest değişkeni x olmak üzere eğer φ’de

• x’in her serbest geçişinin yerine a konulursa

  φ(a)

  cümlesi çıkar;

• x’in serbest olduğu yerlerde y bağlı değilse ve x’in her serbest geçişinin yerine y konulursa

  φ(y)

  formülü çıkar.

Bir cümle ya doğru ya da yanlıştır, ikisi değildir.

1. Bir a kümesi bir b kümesinin bir elemanı ise a ∈ b cümlesi doğrudur.
2. Bir σ cümlesi yanlış ise ¬σ cümlesi doğrudur.
3. Hem σ hem de τ doğru ise (σ ∧ τ) cümlesi de doğrudur.
4. Bir a için φ(a) doğru ise ∃x φ(x) cümlesi de doğrudur.

“σ cümlesi doğrudur” ifadesinin yerine σ yazılabilir.

Resmi formüllerimiz için bazı kısaltmaları kullanırız.

Bir formülün en dış ayraçları yazılmayabilir. İç ayraçlar silmek için ∧ ve ∨ bağlayıcısının ⇒ ve ⇔ bağlayıcısından daha güçlü olduğu anlaşılabilir; örneğin φ ∧ ψ ⇒ χ ifadesinin anlamı (φ ∧ ψ) ⇒ χ olur.

Sağlama ve Sınıflar

Eğer φ(a) doğru bir cümle ise, o zaman a, φ’yi sağlar. Tek-değişkenli bir formülün sağlayanları, bir sınıf oluşturur. Bu durumda

• formül, sınıfı tanımlar;
• formülün sağlayanları, sınıfın elemanlarıdır.

Tek serbest değişkeni x olan bir φ formülünün tanımladığı sınıf

olarak yazılır. Ayrıca A, B, C gibi siyah harfler sınıf olarak kullanılır.

Örneğin bir {x: φ} sınıfı A olarak yazılsın. O zaman bir φ(t) formülünün yerine

yazılabilir. Eğer ayrıca bir {x: ψ} sınıfı B olarak yazılırsa, o zaman

cümlesi

olarak yazılabilir. Bunun gibi bir cümle, bir kapsamadır. Genelde eğer

• a ∈ B ise, o zaman B, a’yı içerir;

• A ⊆ B ise, o zaman B, A’yı kapsar.

Kapsamalardan başka kısaltmalar elde edilir:

Şimdi bazı teoremler saf mantıktan (yani hiçbir aksiyom kullanmadan) kanıtlayabiliriz.

Teorem 3. Eşitlik yansımalı, simetrik, ve geçişlidir, yani her durumda

Bundan dolayı eşitlik bir denklik bağıntısıdır.

Teorem 4. Kapsama yansımasızdır, yani her durumda

ayrıca geçişlidir, dolayısıyla bir sıralamadır.

Verilmiş sınıflardan aşağıdaki sınıflar elde edilir.

Yukarıdakiler ile aynı fikir cümleler veya sınıflar ile ifade edilebilir, örneğin de Morgan kuralları ya

ya da

biçiminde yazılabilir.

Kümeler

Her a kümesinden {x: x ∈ a} sınıfını elde edebiliriz. Kümeyi sınıf ile aynı olarak sayacağız. Böylece her küme bir sınıftır. O zamen eşitliğin tanımından her durumda

Eşitlik Aksiyomu. Her durumda

Teorem 5. Her tek-serbest-değişkenli φ formülü için

Tanıma göre

bu sınıf A’nın kuvvet sınıfıdır. Örneğin

Kümelerden aşağıdaki sınıflar elde edilebilir. Burada φ, tek serbest değişkeni x olan bir formüldür.

Teorem 6.

Teorem 7 (Russell Paradoksu). {x: x ∉ x} sınıfı küme değildir. ∎

Ayırma Aksiyomu. Her {x ∈ a: φ} sınıfı bir kümedir.

Teorem 8. V bir küme değildir, ama her boş olmayan sınıfın kesişimi bir kümedir. ∎

Boş Küme Aksiyomu. 0 bir kümedir.

Bitiştirme Aksiyomu. Her durumda a ∪ {b} bir kümedir.

Özel olarak a′ sınıfı her zaman bir kümedir. Genelde herhangi ∃x (x = A ∧ φ) cümlesi

olarak yazılabilir.

Doğal Sayılar

Şimdi

ifadesi bir formülün kısaltmasıdır. Bu formülü sağlayan bir küme, tümevarımlıdır.

Sonsuzluk Aksiyomu. Tümevarımlı bir küme vardır.

Tümevarımlı kümeler T sınıfını oluşturduğunda

olsun. O zaman ω bir kümedir. Elemanları, doğal sayılardır.

Teorem 9 (Tümevarım). ω tümevarımlıdır ve onun hiç tümevarımlı özaltkümesi yoktur. ∎

Teorem 10. ω’nın her elemanı ya 0 ya da bir elemanın ardılıdır.

Kanıt. Alıştırma 1. ∎

Bir A sınıfı için eğer

ise, o zaman A geçişlidir.

Teorem 11. ω geçişlidir.

Kanıt. Alıştırma 2. ∎

Teorem 12. ω’nın her k ve n elemanı için k ∈ n ⇒ k ⊂ n.

Kanıt. n üzerinde tümevarım kullanacağız.

1. ω’da her k için k ∉ 0, dolayısıyla k ∈ 0 ⇒ k ⊂ 0.

2. ω’da bir m için her k için k ∈ m ⇒ k ⊂ m olsun. Şimdi bir k için k ∈ m ′ olsun. O zaman k ∈ m ∨ k = m.

   1. Eğer k ∈ m ise, o zaman hipoteze göre k ⊂ m, dolayısıyla m ⊆ m ′ olduğundan k ⊂ m ′.

   2. Eğer k = m ise, o zaman k ⊆ m; ayrıca hipotez sayesinde m ⊄ m olduğundan m ∉ m, dolayısıyla m ⊂ m ′, ve sonuç olarak tekrar k ⊂ m ′.

Tümevarım tamamlanmıştır. ∎

Teorem 13. ω’da her k ve n için k ′ = n ′ ⇒ k = n.

Kanıt. Alıştırma 3. ∎

Sonuç olarak aşağıdaki Peano Aksiyomları denilen önermeler teoremdir:

1. 0 hiç doğal sayının ardılı değildir.
2. Doğal sayıların ardılları eşit ise, sayılar da eşittir.
3. 0’ı iceren ve her elemanının ardılını da iceren bir küme, her doğal sayıyı icerir.

Teorem 14. ω’nın her k ve n elemanı için k ⊂ n ⇒ k ∈ n. ∎

Sonuç olarak ⊂ bir sıralama olduğundan ω’da ∈ bir sıralamadır.

Teorem 15. ω’nın her k ve n elemanı için k ⊆ n ∨ n ⊂ k. ∎

Sonuç olarak ω’da ⊂ gibi ∈ doğrusal bir sıralamadır.

Teorem 16. ω’nın her elemanı ∈ tarafından iyisıralanır. ∎

Teorem 17. ω, ∈ tarafından iyisıralanır.

Kanıt. Alıştırma 4. ∎

Tanıma göre her durumda

Böyle bir küme, bir sıralı ikilidir.

Teorem 18. (a, b) = (c, d) ⇒ a = c ∧ b = d.

Kanıt. Alıştırma 5. ∎

İki-konumlu bir bağıntı, elemanları sıralı ikili olan bir sınıftır. B bir örnek olduğunda (a, c) ∈ B ifadesinin yerine

yazılır. Bu şekilde ∈, =, ⊆, ve ⊂, iki-konumlu bağıntısıdır.

Alıştırma 6. ∈ bir sıralama değildir.

S bir sıralama ve C bir sınıf olduğunda eğer

ise, o zaman sıralama olarak S, C’de doğrusaldır.

Alıştırma 7. ⊂ sıralaması evrende doğrusal değildir.