Bütünleme ödevi üzerine

25 Haziran 2020. Puanları önceki gibi aşağıya ekledim.

23 Haziran 2020. Cevaplarım.

22 Haziran 2020. Aşağıdaki noktalar için çözümler aldım.

 1 (3, 2), (7, 0) 1
 2 (3, 4), (7, 0) 1
 3 (1, 8), (5, 0) 2
 4 (6, 2), (6, 0) 2
 5 (3, 5), (6, 0) 2
 6 (6, 2), (2, 0) 1
 7 (1, 5), (8, 0) 3
 8 (5, 2), (3, 0) 3
 9 (3, 9), (6, 0) 3
10 (3, 8), (5, 0) 5
11 (6, 2), (8, 0) 1
12 (6, 8), (4, 0) 1
13 (6, 6), (4, 0) 2
14 (3, 2), (5, 0) 2
15 (2, 6), (4, 0) 4
16 (3, 6), (5, 0) 1

Bütünleme ödevini yapmak isteyen her öğrenci, bana eposta yazıp benden merkezi $(0, 0)$ olan bir elips alıp

elipsin eksenlerini gösteren bir denklem,
eksenlerin uç noktalarını,
eksenlerin uç noktalarını gösteren bir grafik

epostayla 22 Haziran 2020 gününde saat 11’e kadar gönderecek. Herkes kendi çalışmasını göndersin (bütünlemede grup çalışmasına izin yoktur) ve cevaplarını açıklasın.

Aslında biri yatay olan eşlenik diyametrelerin $(a, b)$ ve $(c, 0)$ uç noktalarını vereceğim. Bu durumda elipsin bir denklemi,

$(bx - ay)^2 + (cy)^2 = (bc)^2$

olur. Örnek olarak dönemin alıştırma projesinin kağıdının sayfa 22’deki (14) numaralı denklemi vardır. Bu denklem,

$\left(\displaystyle\frac{17x-13y}{18}\right)^2 +y^2=17$

biçiminde de yazılabilir. Tanımlanan elipsin köşeleri, yani gösterilen diyametrelerin uç noktaları, $\pm(18\surd17/17,0)$ ve $\pm(13\surd17/17,\surd17)$ olur. (Çözeceğiniz örneklerde bu koordinatlar tamsayı olacak.) Eksenleri gösteren bir denklem, (15) numaralı denklem olur. Başka bir biçimde bu denklem

$1=\displaystyle\frac{29\surd205+343}{2\surd205} \left(\displaystyle\frac{(6-\surd205)x+13y}{234}\right)^2 +\displaystyle\frac{29\surd205-343}{2\surd205} \left(\displaystyle\frac{(6+\surd205)x+13y}{234}\right)^2$

veya kısaca

$\sum \displaystyle\frac{343\pm 29\surd205}{\pm 2\surd205} \left(\displaystyle\frac{(6\mp\surd205)x+13y}{234}\right)^2=1$

olur. Aynı elips,

$\sum \displaystyle\frac{67\pm 17\surd205}{\pm 2\surd205} \left(\displaystyle\frac{13x+(-6\mp\surd205)y}{234}\right)^2=1$

denklemi tarafından tanımlanır. Bir denklem yeter. Eksenlerin uç noktaları,

$\left(\sqrt{\displaystyle\frac{29\surd205\mp343}{2\surd205}}, \mp\sqrt{\displaystyle\frac{17\surd205\mp67}{2\surd205}}\right),$

$\left(-\sqrt{\displaystyle\frac{29\surd205\mp343}{2\surd205}}, \pm\sqrt{\displaystyle\frac{17\surd205\mp67}{2\surd205}}\right)$

olur. Bunlar sırasıyla (1.59, -2.48), (5.15, 3.29), (-1.59, 2.48), (-5.15, -3.29) civarındadır, ve aşağıdaki grafikte (pdf dosyası da vardır) çizilebilir.

Polytropy