Pappus yorumu

Geometriler

Öklid’in yazdığı ama şimdi kaybolmuş Porizmalar için İskenderiyeli Pappus’un yazdığı lemmaları okuyoruz. Bu lemmalar, Pappus’un Derleme’sinin VII. kitabındadır. Lemmaların konuları, projektif geometride

  • Desargues İnvolüsyon Teoremi ve

  • Pappus Altıgen Teoremidir.

Bazı tarihler

M.Ö. 585

Miletli Thales’in önceden bildirdiği güneş tutulması

300

Öklid çalışıyordu

M.S. 320

Pappus çalışıyordu

1588

Federico Commandino’nun hazırladığı Derleme’nin Latince çevirisi basıldı

1637

René Descartes’ın yazdığı Geometri

1639

Girard Desargues’ın yazdığı Konikler Hakkında Taslak

1860

Michel Chasles’ın yazdığı Öklid’in Porizmalar’ının Üç Kitabı

1864

Poudra’nın hazırladığı Desargues’ın eserleri edisyonu

1876–7

Friedrich Hultsch’un hazırladığı Derleme edisyonu

1933

Paul Ver Eecke’in hazırladığı Derleme’nin Fransızca çevirisi

1951

Taton’un hazırladığı Desargues’in eserleri edisyonu

1986

Alexander Jones’un hazırladığı Derleme’nin Kitap VII’si edisyonu, İngilizce çevirisi, ve yorumu

Thales, Menelaus, ve Lemma III

  • Bir ABC üçgeninin AB kenarında bir D noktası otursun, yani

    D ∈ AB

    olsun.

  • Ayrıca E ∈ AC olsun.

Kendi şeklinizi çizin. O zaman Öğeler’in VI. kitabında Öklid’in gösterdiği gibi aşağıdaki koşullar denktir:

  1. DE, BC tabanına paraleldir, yani

    DE ∥ BC.

  2. AD’nin DB’ye oranı, AE’nin EC’ye oranı ile aynıdır, yani

    AD : DB: :AE : EC.

Bu sonuca bugün Thales Teoremi denir. Verilen orantıyı 

(BD:DA)(AE:EC): :1 : 1

biçiminde yazabiliriz. Aynı oran, örneğin

AB : AD: :AC : AE

ve

AB : AC: :AD : AE

ile denktir. Ayrıca DE ∥ BC ise

AB : AD: :BC : DE.

Thales Teoremi’nin tamamlayıcısı, Menelaus Teoremi’dir. Buna göre üçgenimizde eğer DE, BC tabanını bir F noktasında keserse, o zaman

(BD:DA)(AE:EC): :BF : CF.

Bunu göstermek için, B’den geçen, AC’ye paralel olan doğru DE’yi H noktasında kessin. O zaman Thales Teoremi’ne göre

(BD:DA)(AE:EC): :
(BH:EA)(AE:EC): :
BH : CE: :
BF : CF.

Şeklimizde üç doğru, B’den geçer, ve bu doğruları, E’den geçen bir doğru D, H, ve F’de keser. E’den geçen ve BH’ye paralel olan doğru, BF tarafından C’de, BD tarafından A’da kesilir. Yukarıdaki Menelaus orantısı AE : EC oranının tersi için çözüldüğünde

CE : EA : :(CF:BF)(BD:DA)
: :(EF:HF)(DH:ED)
: :EF ⋅ DH : ED ⋅ HF.

Burada CE : EA oranı, E’den geçen ve verilmiş üç doğruyu kesen doğrunun açısından bağımsızdır. O zaman E’den geçen başka bir doğru BD’yi, BH’yi, ve BF’yi D1, H1, ve F1 noktalarında keserse, o zaman

EF ⋅ DH : ED ⋅ HF: :EF1 ⋅ D1H1 : ED1 ⋅ H1F1.

Bu sonuç, Pappus’un Lemma III’üdür.

İnvolüsyon

  • Bir doğruda O, B, C, D, ve E noktaları otursun.

  • O’dan geçen başka bir doğruda, bir M noktası otursun.

  • OM doğrusunu, D noktasından geçen ve BM doğrusuna paralel olan doğru, N noktasında kessin.

O zaman Thales sayesinde

OB : OC: :OD : OE ⇔ CM ∥ EN.

Şimdi

  • OB : OC: :OD : OE olsun,

  • OB’de bir A noktası seçilsin,

  • OB’de yukarıdaki gibi öyle bir F noktası bulunsun ki

    OA : OB: :OE : OF

    olsun.

O zaman

OA ⋅ OF = OB ⋅ OE = OC ⋅ OD.

Şimdi sadece bu eşitlikleri kullanacağız. İlk olarak

OB : OF: :OA : OE: :AB : EF,

ve aynı şekilde

OF : OD: :OC : OA: :CF : AD,

OC : OE: :OB : OD: :BC : DE.

Bunların sayesinde

BC : DE : :OB : OD
: :(OB:OF)(OF:OD)
: :(AB:EF)(CF:AD)
: :AB ⋅ CF : EF ⋅ AD.

Ayrıca

BC : DE: :AF ⋅ BC : AF ⋅ DE

olduğundan

AF ⋅ BC : AF ⋅ DE: :AB ⋅ CF : EF ⋅ AD,

ve sonuç olarak

AF ⋅ BC : AB ⋅ CF: :AF ⋅ DE : EF ⋅ AD.

Bu oran, Lemma III’te gördüğümüz oranın biçimindedir. Ayrıca, yukarıdaki

OA ⋅ OF = OB ⋅ OE = OC ⋅ OD

koşullarından O noktasını çıkarmıştık.

Desargues, verilen koşullar ile benzer bir şey yapar:

OF : OE: :OB : OA: :BF : AE,

OE : OA: :OF : OB: :EF : AB,

dolayısıyla

OF : OA: :BF ⋅ EF : AE ⋅ AB,

ve aynı şekilde

OF : OD: :OC : OA: :CF : AD,

OD : OA: :OF : OC: :DF : AC,

dolayısıyla

OF : OA: :CF ⋅ DF : AD ⋅ AC.

Sonuç olarak

BF ⋅ EF : AE ⋅ AB: :CF ⋅ DF : AD ⋅ AC.

Bu orantı sağlandığından, Desargues’ın tanımına göre, {A, F}, {B, E}, ve {C, D} çiftleri involüsyondadır. Eğer bir doğruda B, C, D, ve E noktaları verilirse, o zaman öyle bir ϕ fonksiyonu vardır ki doğrudaki her A noktası için ϕ(A), yukarıda bulduğumuz F noktasıdır. Bu durumda ϕ(F) = A, dolayısıyla ϕ’nin tersi, kendisidir. Bu sebeple ϕ bir involüsyondur.

Pappus’un Lemma IV’ü ile, O noktasını bulmadan F noktasını inşa edebileceğiz, ama bu imkâna Desargues İnvolüsyon Teoremi denir.

Lemmalar I ve II

  • Bir doğruda A, B, C, D, ve E noktaları olsun.

  • Doğruda olmayan H ve J noktaları olsun.

  • BH ve CJ doğruları K noktasında kesişsin.

  • DH ve EJ doğruları L noktasında kesişsin.

Aşağıdaki koşulları inceleyeceğiz.

  1. AB : AC: :AD : AE.

  2. A ∈ HJ.

  3. KL ∥ AE.

Lemma I’e göre

AB : AC: :AD : AE & A ∈ HJ ⟹ KL ∥ AE.

Lemma II’ye göre

AB : AC: :AD : AE & KL ∥ AE ⟹ A ∈ HJ.

Üçüncü bir gerektirme de doğrudur, ve belki Öklid bunu gösterdi:

KL ∥ AE & A ∈ HJ ⟹ AB : AC: :AD : AE.

Bunu göstermek, bir alıştırma olsun.

Lemma IV

Son şekilde A ∈ HJ olsun, ve bir F noktası, AB doğrusunda otursun. Lemma IV’e göre

AF ⋅ BC : AB ⋅ CF: :AF ⋅ DE : EF ⋅ AD ⟹ F ∈ KL.

Yine belki Öklid bu gerektirmenin tersini gösterdi, ve bu tersi göstermek, bir alıştırma olsun.

Lemmalar V, VI, ve VII

Lemma V, Lemma IV’ün özel bir durumudur; Lemmalar VI ve VII, Lemma I’in özel durumlarıdır. Her durum için Pappus, özel bir kanıt verir.

%d bloggers like this: