Öklid’in yazdığı ama şimdi kaybolmuş Porizmalar için İskenderiyeli Pappus’un yazdığı lemmaları okuyoruz. Bu lemmalar, Pappus’un Derleme’sinin VII. kitabındadır. Lemmaların konuları, projektif geometride
-
Desargues İnvolüsyon Teoremi ve
-
Pappus Altıgen Teoremidir.
Bazı tarihler
- M.Ö. 585
-
Miletli Thales’in önceden bildirdiği güneş tutulması
- 300
-
Öklid çalışıyordu
- M.S. 320
-
Pappus çalışıyordu
- 1588
-
Federico Commandino’nun hazırladığı Derleme’nin Latince çevirisi basıldı
- 1637
-
René Descartes’ın yazdığı Geometri
- 1639
-
Girard Desargues’ın yazdığı Konikler Hakkında Taslak
- 1860
-
Michel Chasles’ın yazdığı Öklid’in Porizmalar’ının Üç Kitabı
- 1864
-
Poudra’nın hazırladığı Desargues’ın eserleri edisyonu
- 1876–7
-
Friedrich Hultsch’un hazırladığı Derleme edisyonu
- 1933
-
Paul Ver Eecke’in hazırladığı Derleme’nin Fransızca çevirisi
- 1951
-
Taton’un hazırladığı Desargues’in eserleri edisyonu
- 1986
-
Alexander Jones’un hazırladığı Derleme’nin Kitap VII’si edisyonu, İngilizce çevirisi, ve yorumu
Thales, Menelaus, ve Lemma III
-
Bir ABC üçgeninin AB kenarında bir D noktası otursun, yani
D ∈ AB
olsun.
-
Ayrıca E ∈ AC olsun.
Kendi şeklinizi çizin. O zaman Öğeler’in VI. kitabında Öklid’in gösterdiği gibi aşağıdaki koşullar denktir:
-
DE, BC tabanına paraleldir, yani
DE ∥ BC.
-
AD’nin DB’ye oranı, AE’nin EC’ye oranı ile aynıdır, yani
AD : DB: :AE : EC.
Bu sonuca bugün Thales Teoremi denir. Verilen orantıyı
(BD:DA)(AE:EC): :1 : 1
biçiminde yazabiliriz. Aynı oran, örneğin
AB : AD: :AC : AE
ve
AB : AC: :AD : AE
ile denktir. Ayrıca DE ∥ BC ise
AB : AD: :BC : DE.
Thales Teoremi’nin tamamlayıcısı, Menelaus Teoremi’dir. Buna göre üçgenimizde eğer DE, BC tabanını bir F noktasında keserse, o zaman
(BD:DA)(AE:EC): :BF : CF.
Bunu göstermek için, B’den geçen, AC’ye paralel olan doğru DE’yi H noktasında kessin. O zaman Thales Teoremi’ne göre
(BD:DA)(AE:EC): : |
(BH:EA)(AE:EC): : |
BH : CE: : |
BF : CF. |
Şeklimizde üç doğru, B’den geçer, ve bu doğruları, E’den geçen bir doğru D, H, ve F’de keser. E’den geçen ve BH’ye paralel olan doğru, BF tarafından C’de, BD tarafından A’da kesilir. Yukarıdaki Menelaus orantısı AE : EC oranının tersi için çözüldüğünde
CE : EA | : :(CF:BF)(BD:DA) |
: :(EF:HF)(DH:ED) | |
: :EF ⋅ DH : ED ⋅ HF. |
Burada CE : EA oranı, E’den geçen ve verilmiş üç doğruyu kesen doğrunun açısından bağımsızdır. O zaman E’den geçen başka bir doğru BD’yi, BH’yi, ve BF’yi D1, H1, ve F1 noktalarında keserse, o zaman
EF ⋅ DH : ED ⋅ HF: :EF1 ⋅ D1H1 : ED1 ⋅ H1F1.
Bu sonuç, Pappus’un Lemma III’üdür.
İnvolüsyon
-
Bir doğruda O, B, C, D, ve E noktaları otursun.
-
O’dan geçen başka bir doğruda, bir M noktası otursun.
-
OM doğrusunu, D noktasından geçen ve BM doğrusuna paralel olan doğru, N noktasında kessin.
O zaman Thales sayesinde
OB : OC: :OD : OE ⇔ CM ∥ EN.
Şimdi
-
OB : OC: :OD : OE olsun,
-
OB’de bir A noktası seçilsin,
-
OB’de yukarıdaki gibi öyle bir F noktası bulunsun ki
OA : OB: :OE : OF
olsun.
O zaman
OA ⋅ OF = OB ⋅ OE = OC ⋅ OD.
Şimdi sadece bu eşitlikleri kullanacağız. İlk olarak
OB : OF: :OA : OE: :AB : EF,
ve aynı şekilde
OF : OD: :OC : OA: :CF : AD,
OC : OE: :OB : OD: :BC : DE.
Bunların sayesinde
BC : DE | : :OB : OD |
: :(OB:OF)(OF:OD) | |
: :(AB:EF)(CF:AD) | |
: :AB ⋅ CF : EF ⋅ AD. |
Ayrıca
BC : DE: :AF ⋅ BC : AF ⋅ DE
olduğundan
AF ⋅ BC : AF ⋅ DE: :AB ⋅ CF : EF ⋅ AD,
ve sonuç olarak
AF ⋅ BC : AB ⋅ CF: :AF ⋅ DE : EF ⋅ AD.
Bu oran, Lemma III’te gördüğümüz oranın biçimindedir. Ayrıca, yukarıdaki
OA ⋅ OF = OB ⋅ OE = OC ⋅ OD
koşullarından O noktasını çıkarmıştık.
Desargues, verilen koşullar ile benzer bir şey yapar:
OF : OE: :OB : OA: :BF : AE,
OE : OA: :OF : OB: :EF : AB,
dolayısıyla
OF : OA: :BF ⋅ EF : AE ⋅ AB,
ve aynı şekilde
OF : OD: :OC : OA: :CF : AD,
OD : OA: :OF : OC: :DF : AC,
dolayısıyla
OF : OA: :CF ⋅ DF : AD ⋅ AC.
Sonuç olarak
BF ⋅ EF : AE ⋅ AB: :CF ⋅ DF : AD ⋅ AC.
Bu orantı sağlandığından, Desargues’ın tanımına göre, {A, F}, {B, E}, ve {C, D} çiftleri involüsyondadır. Eğer bir doğruda B, C, D, ve E noktaları verilirse, o zaman öyle bir ϕ fonksiyonu vardır ki doğrudaki her A noktası için ϕ(A), yukarıda bulduğumuz F noktasıdır. Bu durumda ϕ(F) = A, dolayısıyla ϕ’nin tersi, kendisidir. Bu sebeple ϕ bir involüsyondur.
Pappus’un Lemma IV’ü ile, O noktasını bulmadan F noktasını inşa edebileceğiz, ama bu imkâna Desargues İnvolüsyon Teoremi denir.
Lemmalar I ve II
-
Bir doğruda A, B, C, D, ve E noktaları olsun.
-
Doğruda olmayan H ve J noktaları olsun.
-
BH ve CJ doğruları K noktasında kesişsin.
-
DH ve EJ doğruları L noktasında kesişsin.
Aşağıdaki koşulları inceleyeceğiz.
-
AB : AC: :AD : AE.
-
A ∈ HJ.
-
KL ∥ AE.
Lemma I’e göre
AB : AC: :AD : AE & A ∈ HJ ⟹ KL ∥ AE.
Lemma II’ye göre
AB : AC: :AD : AE & KL ∥ AE ⟹ A ∈ HJ.
Üçüncü bir gerektirme de doğrudur, ve belki Öklid bunu gösterdi:
KL ∥ AE & A ∈ HJ ⟹ AB : AC: :AD : AE.
Bunu göstermek, bir alıştırma olsun.
Lemma IV
Son şekilde A ∈ HJ olsun, ve bir F noktası, AB doğrusunda otursun. Lemma IV’e göre
AF ⋅ BC : AB ⋅ CF: :AF ⋅ DE : EF ⋅ AD ⟹ F ∈ KL.
Yine belki Öklid bu gerektirmenin tersini gösterdi, ve bu tersi göstermek, bir alıştırma olsun.
Lemmalar V, VI, ve VII
Lemma V, Lemma IV’ün özel bir durumudur; Lemmalar VI ve VII, Lemma I’in özel durumlarıdır. Her durum için Pappus, özel bir kanıt verir.