Polytropy

2021–22 yılı Aksiyomatik Kümeler Kuramı dersi için.

2019–20 yılınkinden gözden geçirilmiştir.

1. Örnekler varsa, birini verin; yoksa, olmadığını kanıtlayın.

   1. Küme olmayan bir sınıf.

   2. Sınıf olmayan bir küme.

   3. Kendisini içermeyen bir küme.

   4. Kendisini kapsamayan bir küme.

   5. Ordinal olmayan, ∈ tarafından iyisıralanan bir küme.

   6. Ordinal olmayan, boş olmayan, geçişli bir küme.

   7. Elemanları ordinal olan, en küçük elemanı 1 olan bir küme.

   8. Ordinal olan, en küçük elemanı 1 olan bir küme.

   9. Elemanları ordinal olan, en küçük elemanı olmayan bir küme.

   10. Kesin artan, normal olmayan bir ordinaller işlemi.

   11. Sürekli olan, kesin artmayan bir ordinaller işlemi.

   12. Kesin azalan bir ordinaller işlemi.

   13. Sayılamaz bir küme.

   14. Küme olmayan, sayılabilir bir sınıf.

2. Aşağidaki ordinal denklemlerinin her biri için, eğer bu denklem her durumda doğru ise, onu kanıtlayın; değilse, bir karşıt örnek verin.

   1. α + 0 = α.

   2. 0 + α = α.

   3. α + (β + γ) = (α + β) + γ.

   4. α + β = β + α.

   5. α ⋅ 1 = α.

   6. 1 ⋅ α = α.

   7. 2 ⋅ α = α + α.

   8. α + β ⋅ γ = (α + β) ⋅ γ.

   9. α ⋅ (β ⋅ γ)=(α ⋅ β) ⋅ γ.

   10. α ⋅ β = β ⋅ α.

   11. α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ.

   12. (α + β) ⋅ γ = α ⋅ γ + β ⋅ γ.

   13. (α + β)² = α² + 2 ⋅ α ⋅ β + β².

   14. (α + β)² = α² + α ⋅ β + β ⋅ α + β².

3. Cantor normal biçimlerini bulun:

   1. 1 + ω + ω² + ω³.

   2. 1 + ω² + ω + ω³.

   3. 1 + ω³ + ω + ω².

   4. ω³ + ω + ω² + 1.

   5. 3 ⋅ (ω + 4).

   6. (ω+4) ⋅ 3.

   7. (ω² + 3) ⋅ (ω + 4).

   8. (ω + 4) ⋅ (ω² + 3).

   9. (ω² ⋅ 5 + 3) ⋅ (ω + 4).

   10. (ω + 4) ⋅ (ω² ⋅ 5 + 3).

4. Cantor normal biçimlerini bulun:

   1. ω^{ωω ⋅ 2 + ω17} ⋅ 5 + ω^ω5 ⋅ 14 + ω^{ωω + ω17} ⋅ 6 + ω + 317

   2. (ω² ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5) ⋅ (ω^ω ⋅ 3 ⋅ 16 + ω² ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)

   3. (ω^ω ⋅ 2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5) ⋅ (ω^ω ⋅ 3 ⋅ 16 + ω² ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)

   4. (ω^ω ⋅ 2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5) ⋅ (ω^ω3 ⋅ 16 + ω² ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)

   5. (ω + 5)²

   6. 9^ω + 2

   7. (ω + 5)^ω + 2

   8. (ω^ω)^ωω

   9. (ω^ωω)^ωω

   10. 6^ω1330

5. Çözün:

   1. ξ + ω² + η = 15 + ω² + 16

   2. ξ ⋅ ω + η ⋅ ω = (ξ + η) ⋅ ω

6. Çözün.

   1. ℵ₁ ⊕ ℵ_ξ = ℵ₃

   2. ℵ_ξ ⊗ ℵ_ω = ℵ_ω

   3. (ℵ_ω ⊕ ℵ_ω²) ⊗ ℵ_ω ⋅ 3 = ℵ_ξ

   4. (ℵ_α)^ℵ_α = 2^ℵ_ξ

   5. kard(℘(ℵ_ξ)) = 2^{ℵ_ω + 1}

   6. kard(ω^ωω + ω^ω + ω + 75) = ℵ_ξ

7. Her kümenin kardinali, ℵ_α veya ℶ_α biçiminde yazin.

   1. Sayılabilir ordinallerin oluşturduğu küme

   2. ℝ’nin sonlu altkümelerinin oluşturduğu küme

   3. ℝ’nin sayılabilir altkümelerinin oluşturduğu küme

   4. ℝ’nin sayılamaz altkümelerinin oluşturduğu küme

   5. sup{ℵ₀, ℵ₀^ℵ₀, ℵ₀^ℵ₀ℵ₀, ℵ₀^{ℵ₀ℵ₀ℵ₀}, …}

   6. sup {ω, ω^ω, ω^ωω, …}

   7. ℵ₃ ⊕ ℵ₅

   8. ℵ₅ ⊗ ℵ₃

   9. ℵ_2 ⋅ ω ⊕ ℵ_ω ⋅ 2

   10. (ℵ₂ ⊕ ℵ₃) ⊗ (ℵ_ω ⊕ ℵ₁₆)

   11. ℵ_ω ⊕ ℵ_ω^ω

   12. ℵ_ω^ω ⊗ ℵ_ω

   13. ℘(ℝ)

   14. ^ωℝ

   15. (ℵ₀)^ℵ₀

   16. (ℶ₀)^ℶ₀

   17. (ℶ₁)^ℶ₁

   18. (ℵ₁)^ℶ₁

   19. (ℵ_{ω² ⋅ 3 + ω})^ℶ_ωω

   20. (ℶ_ω + 1)^ℶ_ω

   21. ℘(ℶ_ω)