Polytropy

Ders ev sayfası

Giriş

Kümeler kuramı, Öklid’in geometrisi gibidir:

• Öğeler’de ortak kavramları kullanarak postulatlardan diğer önermeleri kanıtlarız.
• Kümeler kuramında ise mantığın kurallarını kullanarak aksiyomlardan diğer teoremleri kanıtlarız.

Kümeler kuramında her küme bir sınıftır; aslında her a kümesi, {x: x ∈ a} sınıfıdır. Bazı sınıflar küme değildir; örneğin {x: x ∉ x} sınıfı bir küme olamaz. Aksiyomlara göre bazı sınıflar kümedir. Boş sınıf hariç her sınıfın elemanı veya elemanları vardır, ve bunların hepsi bir kümedir.

Aşağıdaki özetin verdiğinden daha fazla ayrıntı görmek istiyorsanız, ders kitabına bakın veya bana sorun!

İçerik

• Formüller, Cümleler, ve Doğruluk
• Sağlama ve Sınıflar
• Kümeler
• Doğal Sayılar

Formüller, Cümleler, ve Doğruluk

Resmi dilimizde sabitler ve değişkenler vardır, ve her biri bir terimdir. Bir sabit, bir kümenin adıdır; bir değişken, bir zamir gibidir.

• Sabit olarak a, b, c, A, B, C, 𝒜, ℬ, 𝒞 gibi harfler;
• değişken olarak x, y, z, X, Y, Z gibi harfler;
• terim olarak t ve s gibi harfler

kullanılır. Dikkat edin: A, B, C gibi siyah harfler, terim değildir. Terimler ve başka simgeler tarafından formüller oluşturulur. Bunlar için φ, ψ, ve χ gibi harfler kullanιlacak. Formüllerin tanımı özyinelidir. Dört çeşit vardır:

1. t ∈ s bir içermedir.
2. ¬φ bir değillemedir, ve tek bileşeni φ olur.
3. (φ ∧ ψ) bir tümel evetlemedir, ve bileşenleri φ ve ψ olur.
4. ∃x φ bir örneklemedir, ve tek bileşeni φ formülüdür.

Bir içerme, bölünemez bir formüldür; diğer formüller, bileşiktir.

Tümevarım ile her formül için eğer en az bir simge

• ya formülün sonuna eklenirse
• ya da formülün sonundan çıkarılırsa,

o zaman kalan simgelerin bir formül oluşturmadığını gösterebiliriz. Sonuç olarak her formül tek bir şekilde bir formül olur. Bundan dolayı değişkenlerin serbest geçişlerinin tanımı özyineli olabilir:

1. Bir içermede bir değişkenin her geçişi, serbesttir.
2. Bir değillemenin bileşeninde bir değişkenin her serbest geçişi, değillemenin kendisinde serbesttir.
3. Bir tümel evetlemenin bir bileşeninde bir değişkenin her serbest geçişi, tümel evetlemenin kendisinde serbesttir.
4. Bir ∃x φ örneklemesinde
   • x’ten farklı olan bir değişkenin φ’deki her serbest geçişi serbesttir;
   • x’in hiç serbest geçişi yoktur.

Bir değişkenin serbest olmayan geçişi bağlıdır. Bir formülde bir değişkenin serbest geçişi varsa, bu değişken, formülün bir serbest değişkenidir. Serbest değişkeni olmayan bir formül, bir cümledir. Cümleler için σ ve τ gibi harfler kullanılacak.

φ’nin tek serbest değişkeni x olmak üzere eğer φ’de

• x’in her serbest geçişinin yerine a konulursa

  φ(a)

  cümlesi çıkar;

• x’in serbest olduğu yerlerde y bağlı değilse ve x’in her serbest geçişinin yerine y konulursa

  φ(y)

  formülü çıkar.

Bir cümle ya doğru ya da yanlıştır, ikisi değildir.

1. Eğer bir a kümesi bir b kümesinin bir elemanı ise, o zaman a ∈ b cümlesi doğrudur.
2. Eğer bir σ cümlesi yanlış ise, o zaman ¬σ cümlesi doğrudur.
3. Eğer hem σ hem de τ doğru ise, o zaman (σ ∧ τ) cümlesi de doğrudur.
4. Eğer bir a için φ(a) doğru ise, o zaman ∃x φ(x) cümlesi de doğrudur.

“σ cümlesi doğrudur” ifadesinin yerine σ yazılabilir.

Resmi formüllerimiz için bazı kısaltmaları kullanırız.

Bir formülün en dış ayraçları yazılmayabilir. İç ayraçlar silmek için ∧ ve ∨ bağlayıcısının ⇒ ve ⇔ bağlayıcısından daha güçlü olduğu anlaşılabilir; örneğin φ ∧ ψ ⇒ χ ifadesinin anlamı (φ ∧ ψ) ⇒ χ olur.

Sağlama ve Sınıflar

Eğer φ(a) doğru bir cümle ise, o zaman a, φ’yi sağlar. Tek-değişkenli bir formülün sağlayanları, bir sınıf oluşturur. Bu durumda

• formül, sınıfı tanımlar;
• formülün sağlayanları, sınıfın elemanlarıdır.

Tek serbest değişkeni x olan bir φ formülünün tanımladığı sınıf

olarak yazılır. Ayrıca A, B, C gibi siyah harfler sınıf olarak kullanılır.

Örneğin bir {x: φ} sınıfı A olarak yazılsın. O zaman bir φ(t) formülünün yerine

yazılabilir. Eğer ayrıca bir {x: ψ} sınıfı B olarak yazılırsa, o zaman

cümlesi

olarak yazılabilir. Bunun gibi bir cümle, bir kapsamadır. Genelde eğer

• a ∈ B ise, o zaman B, a’yı içerir;
• A ⊆ B ise, o zaman B, A’yı kapsar.

Kapsamalardan başka kısaltmalar elde edilir:

Bazı teoremler saf mantıktan kanıtlanabilir. Her durumda

Kısaca bağıntı olarak

• eşitlik yansımalı, simetrik, ve geçişlidir,
• kapsama da yansımalı ve geçişlidir.

Verilmiş sınıflardan aşağıdaki sınıflar elde edilir.

Yukarıdakiler ile aynı fikir cümleler veya sınıflar ile ifade edilebilir, örneğin de Morgan kuralları ya

ya da

biçiminde yazılabilir.

Kümeler

Her a kümesinden {x: x ∈ a} sınıfını elde edebiliriz. Kümeyi sınıf ile aynı olarak sayacağız. Böylece her küme bir sınıftır. Özel olarak

ifadesi her zaman doğru bir cümlenin bir kısaltamasıdır, ve bundan her durumda

Eşitlik Aksiyomu. Her durumda

Teorem. Her tek-serbest-değişkenli φ formülü için

Tanıma göre

bu sınıf A’nın kuvvet sınıfıdır. Örneğin

Kümelerden aşağıdaki sınıflar elde edilebilir. Burada φ, tek serbest değişkeni x olan bir formüldür.

Teorem. ⋂ 0 = V. ∎

Teorem (Russell Paradoksu). {x: x ∉ x} sınıfı küme değildir. ∎

Ayırma Aksiyomu. Her {x ∈ a: φ} sınıfı bir kümedir.

Örneğin V bir küme değildir, ama her boş olmayan sınıfın kesişimi bir kümedir:

A ≠ 0 ⇒ ∃x x = ⋂ A.

Boş Küme Aksiyomu. 0 bir kümedir.

Bitiştirme Aksiyomu. Her durumda a ∪ {b} bir kümedir.

Özel olarak a′ sınıfı her zaman bir kümedir. Bundan dolayı a′′, a′′′, … tanımlanır. Genelde herhangi ∃x (x = A ∧ φ) cümlesi

olarak yazılabilir.

Doğal Sayılar

0′, 0′′, 0′′′, …, kümedir. Ayrıca

ifadesi bir formülün kısaltmasıdır. Bu formülü sağlayan bir küme, tümevarımlıdır.

Sonsuzluk Aksiyomu. Tümevarımlı bir küme vardır.

Şimdi tanıma göre

O zaman ω bir kümedir. Elemanları, doğal sayılardır.

Teorem 2 (Tümevarım). Eğer bir A kümesi için

1. 0 ∈ A ise ve
2. ω’nın her n elemanı için n ∈ A ⇒ n ′ ∈ A ise,

o zaman ω ⊆ A. Ayrıca

1. 0 ∈ ω,
2. ω’nın her n elemanı için n ′ ∈ ω. ∎