Aksiyomatik Kümeler Kuramı Özeti

Bu notlar, 2019–20 güz döneminde MSGSÜ Matematik Bölümü’nün Aksiyomatik Kümeler Kuramı dersi sırasında yazılmaktadır.

Teoremlerin ve lemmaların hepsi derste kanıtlanır; burada kanıtlardan birkaç örnek verilir.


Giriş

  • Öklid’in Öğeler’inde ortak kavramları kullanarak postulatlardan diğer önermeleri kanıtlarız.

  • Kümeler kuramında mantığın kurallarını kullanarak aksiyomlardan diğer teoremleri kanıtlarız.

Her küme bir sınıftır, ama bir sınıf bir küme olmayabilir. Aksiyomlara göre bazı sınıflar kümedir. Boş sınıf hariç her sınıfın elemanı veya elemanları vardır, ve bunların hepsi bir kümedir.


İçerik


Formüller

a, b, c, A, B, C gibi harfler, sabittir. Bunlar kümelerin adıdır.

x, y, z gibi harfler, değişkendir.

Bir sabit veya değişken, bir terimdir.

Formüllerin özyineli tanımı:

  1. t ve u terim olmak üzere tu bir formüldür.

  2. Eğer φ bir formül ise, o zaman ¬φ de formüldür.

  3. Eğer φ ve ψ formül ise, o zaman (φψ) de formüldür.

  4. Eğer

    • x bir değişken,

    • φ bir formül

    ise, o zaman ∃x φ de formüldür.

Değişkenlerin serbest geçişlerinin özyineli tanımı:

  1. Bir tu formülünde bir değişkenin her geçişi serbesttir.

  2. Bir değişkenin φ’deki her serbest geçişi ¬φ, (φψ), ve (ψφ)’de de serbesttir.

  3. x y’den farklı olduğundan x’in φ’deki her serbest geçişi, ∃y φ’de de serbesttir.

  4. x φ’de x’in hiç serbest geçişi yoktur.

Bir değişkenin serbest olmayan geçişi bağlıdır. Bir formülde bir değişkenin serbest geçişi varsa, bu değişken, formülün bir serbest değişkenidir. Serbest değişkeni olmayan bir formül, bir cümledir.

φ’nin tek serbest değişkeni x olmak üzere eğer φ’de x’in her serbest geçişinin yerine a konulursa φ(a) cümlesi çıkar. Aynı formülde eğer x’in her serbest geçişinin yerine y konulursa φ(y) cümlesi çıkar, ama y aynı yerde bağlı olamaz.

Bir cümle ya doğru ya da yanlıştır, ikisi değildir.

  1. Eğer a b’nin bir elemanı ise, o zaman ab doğrudur.

  2. Eğer σ yanlış ise, o zaman ¬σ doğrudur.

  3. Eğer hem σ hem de τ doğru ise, o zaman (στ) da doğrudur.

  4. Eğer φ(a) doğru ise, bu durumda a φ’yi sağlar ve ∃x φ de doğrudur.

Formül Kısaltması
¬(¬φ ∧ ¬ψ) (φψ)
¬φψ φψ
(φψ) ∧ (ψφ) φψ
¬∃x ¬φ x φ
x (xtxu) tu
tuut t = u
¬ t = u tu
tutu tu

Eşitlik

Aşağıdaki cümleler doğrudur:

(1)

xy (x = yφ(x) ⇒ φ(y)),

(2)

xy (∀z (zxzy) ⇒ x = y).

Cümle (1)’in özel bir durumu aşağıdadır:

(3)

xyz (x = yxzyz).

Cümleler (2) ve (3)’ten Cümle (1) kanıtlanabilir. Dersimizde Cümle (2) tanımdan doğrudur ve Cümle (3) bir aksiyomdur. Bazı kitaplarda Cümle (1) mantıksal bir aksiyomdur ve Cümle (2) Kaplam Aksiyomudur.


Sınıflar

Tek serbest değişkeni x olan bir φ formülü {x: φ} sınıfını tanımlar; sınıfın elemanları φ’nin sağlayanlarıdır.

Sınıf Kısaltması
{x: xa} a
{x: xaxb} ab
{x: xaxb} ab
{y: ∀x (φyx)} ⋂ {x: φ}
{y: ∃x (φyx)} ⋃ {x: φ}
{x: xx} 0
{x: x = x} V
{x: x = a} {a}
{a} ∪ {b, …} {a, b, …}
a ∪ {a} a
{x: xaφ} {xa: φ}
  • aa’nın ardılıdır.

  • Tanımlardan ⋂ 0 = V.

Şimdilik {x: φ} sınıfı A olsun ve φ gibi ψ, tek serbest değişkeni x olan bir formül olsun.

Formül Kısaltması
φ xA
x (x = Aψ) ψ(A)

Kümeler

Bir a kümesi {x: xa} sınıfı olduğundan her küme bir sınıftır.

Teorem 1. {x: xx} sınıfı küme değildir. ∎

Şu anda hiç küme bilmiyoruz.

Boş Küme Aksiyomu. 0 bir kümedir.

Bitiştirme Aksiyomu. Her durumda a ∪ {b} bir kümedir.

Şimdi 0′, 0′′, 0′′′, …, kümedir. Ayrıca

0 ∈ x ∧ ∀y (yxy′ ∈ x)

ifadesi bir formülün kısaltmasıdır. Bu formülünü sağlayan bir küme, tümevarımlıdır.

Ayırma Aksiyomu. Her {xa: φ} sınıfı bir kümedir.

Örneğin her boş olmayan sınıfın kesişimi bir kümedir:

A ≠ 0 ⇒ ∃x x = ⋂ A.


Doğal Sayılar

Sonsuzluk Aksiyomu. Tümevarımlı bir küme vardır.

Şimdi tanıma göre

ω = ⋂ {x: 0 ∈ x ∧ ∀y (yxy′ ∈ x)}.

O zaman ω bir kümedir. Elemanları, doğal sayılardır.

Teorem 2 (Tümevarım). Eğer bir A kümesi için

  1. 0 ∈ A ise ve

  2. ω’nın her n elemanı için nAn′ ∈ A ise,

o zaman ω ⊆ A. Ayrıca

  1. 0 ∈ ω,

  2. ω’nın her n elemanı için n′ ∈ ω. ∎

Alıştırma 1. ω’nın her elemanının ya 0 ya da bir elemanın ardılı olduğunu gösterin.

Alıştırma 2. Her n için n ∈ ω ⇒ n ⊆ ω gösterin.

Sonuç olarak ω geçişlidir.

Teorem 3. ω’da her k ve n için knkn.

Kanıt. Tümevarım kullanacağız.

  1. ω’da her k için k ∉ 0, dolayısıyla k ∈ 0 ⇒ k ⊂ 0.

  2. ω’da bir m için her k için kmkm olsun. Şimdi bir k için km′ olsun. O zaman kmk = m.

    1. Eğer km ise, o zaman hipoteze göre km, dolayısıyla mm′ olduğundan km′.

    2. Eğer k = m ise, o zaman km; ayrıca hipotez sayesinde mm olduğundan mm, dolayısıyla mm′, ve sonuç olarak tekrar km′.

Tümevarım tamamlanmıştır. ∎

Teorem 4. ω’da her k ve n için knkn. ∎

Sonuç olarak ω’da ∈ bir sıralamadır.

Alıştırma 3. ω’da her k ve n için k′ = n′ ⇒ k = n gösterin.

Sonuç olarak aşağıdaki Peano Aksiyomları denilen önermeler teoremdir:

  1. 0 hiç doğal sayının ardılı değildir.

  2. Doğal sayıların ardılları eşit ise, sayılar da eşittir.

  3. 0’ı iceren ve her elemanının ardılını da iceren bir küme, her doğal sayıyı icerir.

Teorem 5. ω’da her k ve n için knnk. ∎

Sonuç olarak ω’da ∈ doğrusal bir sıralamadır.

Alıştırma 4. (Güçlü Tümevarım.) Eğer bir A kümesi için, ω’nın her n elemanı için nAnA ise, ω ⊆ A gösterin.

Teorem 6. ω’nın her elemanı ∈ tarafından iyisıralanır. ∎

Alıştırma 5. ω ∈ tarafından iyisıralanır.


Ordinaller

Bir ordinal,

  1. geçişli,

  2. ∈ tarafından iyisıralanmış

bir kümedir. Ordinaller ON sınıfını oluşturur. Örneğin ω ∈ ON ve ω ⊂ ON.

α, β, γ, δ, θ harfleri, ordinal sabittir; ξ, η, ζ harfleri, ordinal değişkendir.

Teorem 7. ON geçişlidir.

Kanıt. Alıştırma 6.

Lemma 1. ON’de ∈ bir sıralamadır.

Kanıt. Alıştırma 7.

Lemma 2. ON’de ∈ ve ⊂ aynı bağıntıdır. ∎

Teorem 8. Her ordinalde ∈ ve ⊂ aynı bağıntıdır.

Kanıt. Alıştırma 8.

ON’nin ∈ veya ⊂ sıralaması < ile gösterilebilir.

Lemma 3. ON’nin sıralaması doğrusaldır. ∎

Teorem 9. ON’nin doğrusal sıralaması iyidir. ∎

Teorem 10. (Burali-Forti Paradoksu.) ON bir küme değildir. ∎

Teorem 11. Her α’nın ardılı

  • başka bir ordinaldir,

  • α’dan daha büyük olan ordinallerin en küçüğüdür.

Kısaca

α′ = min {ξ: α < ξ}. ∎

Ne 0 ne ardıl olan bir ordinal bir limittir. Örneğin ω en küçük limit ordinaldir. Sonsuzluk Aksiyomu’nu kullanmadan ω, ne limit olan ne limit içeren ordinallerin oluşturduğu sınıf olarak tanımlanabilir.

0 olmayan bir α’nın limit olması için gerek ve yeter bir koşul,

β < αβ′ < α.

Eğer

  • α limit veya 0 ise, o zaman ⋃α = α;

  • α = β′ ise ⋃α = β.

Bileşim Aksiyomu. Her kümenin bileşimi de bir kümedir.

Teorem 12. Elemanları ordinal olan her A
kümesinin bileşimi

  • bir ordinaldir,

  • A’nın en küçük üstsınırıdır.

Kısaca

⋃ A = sup (A).

Kanıt. Alıştırma 9.

Teorem 13 (Tümevarım). Elemanları ordinal olan bir A sınıfı için, eğer

  1. 0 ∈ A,

  2. αAα′ ∈ A,

  3. γ limit olmak üzere γAγA

ise, o zaman A = ON. ∎


Göndermeler

Serbest değişkenleri x ve y olan bir φ formülü için, eğer her a için, en çok bir b için, φ(a, b) cümlesi doğru ise, o zaman φ bir göndermeyi tanımlar. Eğer bu gönderme F  olarak yazılırsa, o zaman φ(a, b) cümlesinin yerine kısaca

F (a) = b

yazılabilir. Ayrıca F ’nin kendisi

xF (x)

olarak yazılabilir.

  • {x: ∃y φ(x, y)} sınıfı F ’nin tanım sınıfıdır;

  • {y: ∃x φ(x, y)} sınıfı F ’nin değer sınıfıdır.

Örneğin

  • xx,

  • xa,

  • xx′,

  • x ↦ ⋃ x

  • x ↦ ⋂ x

göndermeleri vardır, ve son göndermenin tanım sınıfı {x: x ≠ 0}; diğerlerinki V.

Genelde bir {x: ∃y (yAF (y) = x)} sınıfı kısaca

{F (x): xA}

veya

F [A]

olarak yazılabilir.

Yerleştirme Aksiyomu. Her a kümesi için F [a] bir kümedir.

Eğer A F ’nin tanım sınıfı ve F [A] ⊆ B ise

F : AB

yazılabilir. Eğer F : AA ise, o zaman A’da F  bir işlemdir.

Teorem 14 (Özyineleme). Her α ordinali ve F  ordinal işlemi için, bir ve tek bir G ordinal işlemi için

  1. G(0) = α,

  2. her β için G(β′) = F (G(β)),

  3. γ limit olmak üzere G(γ) = sup (G[γ]). ∎

Tanıma göre

  1. kesin artan,

  2. sürekli

ordinal bir işlem normaldir.

Teorem 15. Bir F  ordinal işleminin normal olması için gerek ve yeter bir koşul

  1. her α için F (α) < F (α′),

  2. her β limiti için F (β) = sup (F [β]). ∎

Teorem 16. Eğer F  normal ise, o zaman elemanları ordinal olan her A kümesi için

F (sup (A)) = sup (F [A]). ∎


Toplama

Tanıma göre

  1. α + 0 = α,

  2. α + β′ = (α + β)′,

  3. γ limit ise α + γ = sup {α + ξ: ξ < γ}.

O zaman her α için ξα + ξ normaldir. 0′ = 1 olduğundan

  • α + 1 = α′,

  • 1 + ω = ω < ω + 1.

Teorem 17. 0 + α = α.

Kanıt.

  1. 0 + 0 = 0.

  2. 0 + β = β ise 0 + β′ = (0 + β)′ = β′.

  3. γ limit ve α < γ ⇒ 0 + α = α ise

    0 + γ = sup {0 + ξ: ξ < γ} = sup {ξ: ξ < γ} = γ. ∎

Teorem 18. Ordinal toplama birleşmelidir. ∎

%d bloggers like this: