Analitik Geometri: Koni Kesitleri

İçerik

2. Koni kesitleri

Bir kartezyan koordinatlar sisteminde, standart hiperbol, elips, ve parabol, sırasıyla

x 2 − y 2 = 1,

x 2 + y 2 = 1,

x = y 2

denklemi tarafından tanımlanır. Eğrilerin her biri, bir koni kesiti veya koniktir.

  • Standart elipsin veya hiperbolün merkezi, (0, 0) noktası olur.

  • y = 0 doğrusu, standart elipsin veya hiperbolün veya parabolün bir diyametresidir, çünkü eğer (a, b) noktası verilen eğrinin bir noktası ise, o zaman (a, −b) noktası da eğrinin bir noktasıdır.

  • (0, 0) noktası, standart parabolün bir köşesidir, çünkü orada verilen diyametre eğriyi keser.

  • (1, 0) ve (−1, 0) noktası, standart elipsin veya hiperbolün köşeleridir.

  • x = 0 doğrusu, standart elipsin veya hiperbolün diğer diyametresine eşlenik olan bir diyametredir, çünkü eğer (a, b) noktası verilen eğrinin bir noktası ise, o zaman (−a, b) noktası da eğrinin bir noktasıdır.

  • (0, 1) ve (0, −1) noktası, diğer köşelere eşlenik olan köşeleridir. (Bu noktalar, standart elipstedir, ama standart hiperbolde değildir.)

  • Oranların ℝ gibi sıralanmış bir cismi oluşturduğu durumda standart hiperbolün asimptotları,

    x − y = 0 ve x + y = 0

    doğrusudur, çünkü her pozitif a oranı için

    • eğer a ≥ 1 ise, o zaman y = ax doğrusu, hiperbolü kesmez;

    • eğer a < 1 ise, o zaman bir b oranı için, a ≤ b < 1 ve y = bx doğrusu, hiperbolü keser.

    (Eğer ℝ’deki gibi her pozitif oran bir kare ise, o zaman b = a olabilir, ama her durumda c = (1 − a)−1 olduğunda b = (c2 − 1)(c2 + 1)−1 olabilir. Yunanca’da Α-ΣΥΜ-ΠΤΩΤΟΣ kelimesinin anlamı, “beraber düşmeyen” olur.)

Teorem (hiperbolün diyametreleri). Bir (O, a, b) sisteminde bir C noktasının koordinatları (e, f ) olsun, ve koordinatları (f, e) olan nokta D olsun. Ayrıca

C = O + c,

D = O + d

olsun. Eğer C, (O, a, b) sisteminin standart hiperbolünün bir noktası ise, o zaman bu hiperbol, (O, c, d) sistemininki ile aynıdır.

Kanıt fikri. Varsayıma göre

e 2 + f 2 = 1,

c = e ⋅ a + f ⋅ b,

d = f ⋅ a + e ⋅ b

olur. Rastgele bir P için

P = O + x ⋅ c + y ⋅ d

olsun. O zaman

P = O + x ⋅ (e ⋅ a + f ⋅ b) + y ⋅ (f ⋅ a + e ⋅ b) = (ex + fy) ⋅ a + (fx + ey) ⋅ b.

Ayrıca eşitlik (2.1)’den

(ex + fy)2 − (fx + ey)2 = x 2 − y 2

olur. ∎

Sonuç olarak bir koordinatlar sisteminde eğer (a, b) noktası, standart hiperbolün bir noktası ise, o zaman

  • ay = bx, hiperbolün bir diyametresidir,

  • (a, b) ve (−a, −b), hiperbolün köşesidir,

  • ax = by, eşlenik diyametredir,

  • (b, a) ve (−b, −a), eşlenik köşedir.

Teorem (elipsin diyametreleri). Bir (O, a, b) sisteminde bir C noktasının koordinatları (e, f ) olsun, ve koordinatları (f, −e) olan nokta D olsun. Ayrıca

C = O + c,

D = O + d

olsun. Eğer C, (O, a, b) sisteminin standart elipsinin bir noktası ise, o zaman bu elips, (O, c, d) sistemininki ile aynıdır.

Kanıt. Alıştırma. ∎

Sonuç olarak bir koordinatlar sisteminde eğer (a, b) noktası, standart elipsin bir noktası ise, o zaman

  • ay = bx, elipsin bir diyametresidir,

  • (a, b) ve (−a, −b), elipsin köşesidir,

  • ax = −by, eşlenik diyametredir,

  • (b, −a) ve (−b, a), eşlenik köşedir.

Teorem (parabolün diyametreleri). Bir (O, a, b) sistemi verildiğinde, bir f oranı için

U = O + f 2 ⋅ a + f ⋅ b,

c = f 2 ⋅ a,

d = −2f 2 ⋅ a − f ⋅ b

olsun. O zaman (U, c, d) sisteminin standart elipsi, (O, a, b) sistemininki ile aynıdır.

Kanıt fikri. Eğer

P = U + x ⋅ c + y ⋅ d

ise, o zaman

P

= O + f 2 ⋅ a + f ⋅ b + x ⋅ (f 2 ⋅ a) − y ⋅ (2f 2 ⋅ a + f ⋅ b)

= O + f 2(1 − 2y + x) ⋅ a + f (1 − y) ⋅ b

olur. Ayrıca

1 − 2y + x = (1 − y)2 ⇔ x = y2

olur. ∎

Sonuç olarak bir koordinatlar sisteminde herhangi a oranı için

  • y = a, standart parabolün bir diyametresidir,

  • (a2, a) parabolün köşesidir.

Teorem (merkezli koni kesitinin denklemi). Eğer ad ≠ bc ise, o zaman

(ax + by + e )2 ± (cx + dy + f )2 = 1

denklemlerinin her biri, eşlenik diyametreleri

cx + dy + f = 0 ve ax + by + e = 0

olan bir elipsi veya bir hiperbolü tanımlar; ayrıca

F(x, y) = (ax + by + e, cx + dy + f )

olmak üzere

  • F(x, y) = (0, 0) denkleminin çözümü, koniğin merkezinin,

  • F(x, y) = (±1, 0) denkleminin çözümleri, koniğin köşelerinin,

  • F(x, y) = (0, ±1) denkleminin çözümleri, eşlenik köşelerin

koordinatları olur. Hiperbol durumunda

ax + by + e ± (cx + dy + f ) = 0

denklemleri, asimptotları tanımlar.

Kanıt fikri. Koordinatlar sistemi (O, a, b) olsun. Bu sistemde koordinatları

F(x, y) = (0, 0), (1, 0), (0, 1)

denkleminin çözümü olan noktalar sırasıyla U, C, D olsun, ve

C = U + c, D = U + d

olsun. O zaman her durumda

O + x ⋅ a + y ⋅ b = U + (ax + by + e) ⋅ c + (cx + dy + f) ⋅ d

olur, çünkü denklemler (2.3)’in çözümlerinde doğrudur. ∎

Teorem (parabolün denklemi). Eğer ad ≠ bc ise, o zaman

ax + by + e  = (cx + dy + f )2

denklemi, diyametresi

cx + dy + f = 0

olan bir parabolü tanımlar; ayrıca

F(x, y) = (ax + by + e, cx + dy + f )

olmak üzere F(x, y) = (0, 0) denkleminin çözümü, parabolün köşesidir. ∎

Teorem. Eğer

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

denkleminin çözümü varsa, o zaman bu çözüm bir parabol, bir elips, bir hiperbol, iki doğru, bir doğru, veya bir noktadır. Ayrıca

  • b2 ≠ 4ac ise çözüm bir parabol değildir;

  • b2 = 4ac ise çözüm bir elips veya hiperbol değildir.

Kanıt. Tanıma göre

φ(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f

olsun. O zaman denklem (2.5),

φ(x, y) = 0

olur. İlk olarak a ≠ 0 olsun.

  1. Kareyi tamamlayarak

    4a2x2 + 4abxy = (2ax + by)2 − b2y2

    eşitliğini elde ederiz, dolayısıyla

    4a ⋅ φ(x, y) = (2ax + by)2 + (4ac − b2)y2 + 4adx + 4aey + 4af.

  2. Benzer bir şekilde

    (2ax + by)2 + 4adx + 4aey

    = (2ax + by)2 + 2d(2ax + by) + 2(2ae − bd)y

    = (2ax + by + d)2 + 2(2ae − bd)y − d2,

    dolayısıyla

    4a ⋅ φ(x, y) = (2ax + by + d)2 + (4ac − b2)y2 + 2(2ae − bd)y + 4af − d2.

Aslında sadece bir kareyi tamamlayarak aynı sonuca varabiliriz, çünkü

4a(ax2 + bxy + dx) = 4a2x2 + 4a(by + d)x

= (2ax + by + d)2 − (by + d)2

= (2ax + by + d)2 − b2y2 − 2bdy − d2,

ve bundan tekrar denklem (2.7)’yi elde edebiliriz. Şimdi

Δ = b2 − 4ac

olsun. O zaman a ≠ 0 olduğunda, denklem (2.5),

(2ax + by + d)2 − Δy2 + 2(2ae − bd)y + 4af − d2 = 0

denklemine denktir. Δ = 0 olduğunda, denklemimiz

(2ax + by + d)2 + 2(2ae − bd)y + 4af − d2 = 0

olur.

  • Eğer ayrıca 2ae − bd ≠ 0 ise, o zaman bir parabol tanımlanır.

  • Eğer 2ae − bd = 0 ama 4af − d2 ≤ 0 ise, o zaman bir veya iki doğru tanımlanır.

  • Eğer 2ae − bd = 0 ve 4af − d2 > 0 ise, o zaman hiçbir şey tanımlanmaz.

Aksi durumda Δ ≠ 0 olur. Bu durumda

−Δ ⋅ ((4ac − b2)y2 + 2(2ae − bd)y)

= Δ2y2 − 2Δ(2ae − bd)y

= (Δy − 2ae + bd)2 − (2ae − bd)2

olduğunda

4aΔ ⋅ φ(x, y)

= Δ(2ax + by + d)2 − (Δy − 2ae + bd)2 + (2ae − bd)2 − 4afΔ + d2Δ

olur, ve denklem (2.5),

Δ(2ax + by + d)2 − (Δy − 2ae + bd)2 + (2ae − bd)2 − 4afΔ + d2Δ = 0

denklemine denktir. Eğer (2ae − bd)2 − 4afΔ + d2Δ

  • = 0 ve Δ > 0 ise, o zaman iki doğru;

  • = 0 ve Δ < 0 ise, o zaman bir nokta;

  • ≠ 0 ve Δ > 0 ise, o zaman bir hiperbol;

  • > 0 ve Δ < 0 ise, o zaman bir elips

tanımlanır. Kalan durumda hiçbir şey tanımlanmaz.

Simetriden de eğer c ≠ 0 ise, o zaman denklem (2.8)’in yerine

(2cy + bx + e)2 − Δx2 + 2(2cd − be)x + 4cf − e2 = 0

denklemi meydana gelir, ve çözümleri yukarıdaki gibidir.

Son olarak a = 0, c = 0, ama b ≠ 0 olsun. Bu durumda

4xy = (x + y)2 − (x − y)2,

2x = (x + y) + (x − y),

2y = (x + y) − (x − y)

olduğundan

4 ⋅ φ(x, y) = b(x + y)2 − b(x − y)2 + 2(d + e)(x + y) + 2(d − e)(x − y) + 4f,

dolayısıyla denklem (2.5) iki doğruyu veya bir hiperbolü tanımlar. ∎

Örnek. Eşitlik (2.6)’daki gibi tanımlanan rastgele bir polinom ile başlayabiliriz veya denklem (2.2) veya (2.4) ile aşağıdaki şekilde bir polinomu yaratabiliriz:

36 ⋅ (2x − 3)2 + (18x + 13y − 1)2 − 468

= 36 ⋅ (4x2 − 12x + 9) + (18x + 13y)2 − 2 ⋅ (18x + 13y) + 1 − 468

= 18 ⋅ 8x2 − 36 ⋅ 12x + 324 + 182x2 + 2 ⋅ 18 ⋅ 13xy + 132y2 − 36x − 26y − 467

= 18 ⋅ 26x2 − 36 ⋅ 13x − 143 + 36 ⋅ 13xy + 132y2 − 26y

= 13 ⋅ (36x2 + 36xy + 13y2 − 36x − 2y − 11).

Ayrıca

36x2 + 36xy + 13y2 − 36x − 2y − 11

= 9 ⋅ (4x2 + 4xy + y2) + 4y2 − 36x − 2y − 11

= 9 ⋅ (2x + y)2 + 4y2 − 18 ⋅ (2x + y) + 16y − 11

= 9 ⋅ (2x + y − 1)2 + 4 ⋅ (y + 2)2 − 36.

Böylece aynı elips, aynı koordinatlar sisteminde, hem

((2x − 3) / √13)2 + ((18x + 13y − 1) / 6√13)2 = 1

hem de

((2x + y − 1) / 2)2 + ((y + 2) / 3)2 = 1

tarafından tanımlanır. İkinci denkleme göre

y + 2 = 0,

2x + y − 1 = 0

denklemleri elipsin iki eşlenik diyametresini tanımlar. Bunların (3/2, −2) kesişim noktası, elipsin merkezidir. Ayrıca

y + 2 = 0,

2x + y − 1 = 2

doğrularının (5/2, −2) kesişim noktası, elipsin bir köşesidir, ve eşlenik bir köşe

y + 2 = 3,

2x + y − 1 = 0

doğrularının (0, 1) kesişim noktasıdır. Bulduğumuz noktaları sırasıyla O, A, ve B olduğunda elips, (O, A, B) koordinatlar sisteminin standart elipsidir. Benzer bir şekilde elips, kendi ilk denklemden elde edilen bir (O, C, D) sisteminin standart elipsidir. Ayrıca elipsin ilk denklemini

y = (1 −18x ± 12√(1 + 3x − x2))/13

biçiminde yazarak iki fonksiyonun grafiği olarak elipsi anlayabiliriz.

Alıştırma. (2020.04.01: bu problem için daha ayrıntılı pdf dosyası vardır.) Denklem (2.2) ve (2.4) gibi denklemleri yazıp denklem (2.5)’in biçimine getirip arkadaşlarınıza çözdürün. Örneğin

25x2 −100xy + 84y2 + 150x −268y − 191 = 0

hangi eğriyi tanımlar?

3 Nisan 2020 gününde düzeltilmiş